Pauli matriser

Pauli-matriser är en uppsättning av tre hermitiska och samtidigt enhetliga 2×2 -matriser , som utgör en bas i utrymmet för alla hermitiska 2×2-matriser med noll spår . Föreslogs av Wolfgang Pauli för att beskriva spinn av en elektron i kvantmekaniken . Matriserna ser ut

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix)),

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

Istället används beteckningen och ibland . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3))$ ${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z))$ $X,Y,Z$

Används ofta även matris

\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),

sammanfaller med identitetsmatrisen , som också ibland betecknas som . $jag$ $E$

Pauli-matriserna bildar tillsammans med matrisen en bas i utrymmet för alla 2×2 hermitiska matriser (inte bara matriser med nollspår). $\sigma _{0}$

Egenskaper

Grundläggande förhållanden

Hermititet : $\sigma _{i}^{\dolk }=\sigma _{i};$
Likhet till noll spår : $\operatörsnamn {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3$
$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}^{2}=I,$ var är en 2×2 identitetsmatris . $I=\sigma _{0}$
Enhet : ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dolk }=\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i))$
Determinanten för Pauli-matriser är −1.
Den algebra som genereras av elementen är isomorf till quaternion algebra . ${\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z))$ $\langle 1,i,j,k\rangle$

Pauli Matrix multiplikationsregler

\sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},

\sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},

\sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},

{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i))

för

i\neq j.

Dessa multiplikationsregler kan skrivas om i en kompakt form

\sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j ,k=1,2,3

var är Kronecker-symbolen och ε ijk är Levi-Civita-symbolen . $\delta _{{ij}}$

Från dessa multiplikationsregler följer kommuteringsrelationerna

{\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matris}}

Hakparenteser betyder kommutator , krulliga parenteser betyder antikommutator .

Firtz -identiteterna gäller också för Pauli-matriser .

Koppling med Lie-algebror

Matrisernas kommuteringsrelationer sammanfaller med kommuteringsrelationerna för generatorerna av Lie-algebra su(2). Hela denna algebra, som består av 2×2 anti-hermitiska matriser, kan faktiskt konstrueras från godtyckliga linjära kombinationer av matriser . i synnerhet förklarar detta vikten av Pauli-matriser för fysiken. ${\displaystyle i\sigma _{k))$ $i\sigma _{k}\;.$

Tillämpningar i fysik

Inom kvantmekaniken är matriser generatorer av oändliga rotationer för icke-relativistiska partiklar med spin ½. Elementen i spinoperatormatrisen för partiklar med halvheltalsspinn uttrycks i termer av Pauli-matriserna [1] som $i\sigma _{j}/2$

$(s_{x})_{\sigma ,\sigma -1}=(s_{x})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {1}{2)){\sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

$(s_{y})_{\sigma ,\sigma -1}=-(s_{y})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {-i}{2}}{ \sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

$(s_{z})_{\sigma \sigma }=\sigma$

Tillståndsvektorn för sådana partiklar är en tvåkomponentsspinor [ 2] . Tvåkomponentsspinorerna bildar utrymmet för den grundläggande representationen av SU(2)-gruppen.

Se även

Firtz identiteter

Anteckningar

↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 55. Spinoperator // Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — Upplaga 5:e. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 sid. - ( Teoretisk fysik , volym III). — ISBN 5-9221-0057-2 .
↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 56. Spinors // Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — Upplaga 5:e. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 sid. - ( Teoretisk fysik , volym III). — ISBN 5-9221-0057-2 .

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — Upplaga 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym III). - ISBN 5-02-014421-5 .