Entropisk modelleringsmetod

Med utvecklingen av datorteknik blir Monte Carlo-simulering allt mer populärt i studier av olika statistiska system, inklusive: neurala nätverk, problem med biologi och kemi, optimeringsproblem inom olika områden, såväl som i statistisk fysik i studiet av fas övergångar och kritiska fenomen.

Nästan alla varianter av Monte Carlo-metoden är baserade på idén om den väsentliga samplingsmetoden, författad av N. Metropolis et al. [1]

Ett exempel på implementeringen av den entropiska modelleringsmetoden är Wang-Landau-algoritmen

Monte Carlo-metoden i klassisk statistisk mekanik

Problemen med jämviktsstatistisk termodynamik för klassiska system kan reduceras till beräkningen av den statistiska integralen. Till exempel, i den kanoniska ensemblen :

$Z(N,V,T)={\frac {1}{N!(2\pi \hbar )^{3N))}\int \exp\{-\beta E(p,q)\ }dpdq,\qquad {\mbox{där }}\beta ={\frac {1}{kT)),$

$N$ - antalet partiklar i volymen vid en temperatur , ; - total mekanisk energi hos partiklar; - en uppsättning av deras momenta och koordinater, och . Klassisk energi kan alltid representeras som summan av kinetiska och potentiella energier. Den kinetiska energin är en kvadratisk funktion av momentan, och integration över dem kan göras på ett generellt sätt. Som ett resultat får vi: $V$ $T$ $\beta =1/kT$ $E(p,q)$ $p,q$ ${\displaystyle dp=d^{3}p_{1}\ldots d^{3}p_{N}\,dq=d^{3}q_{1}\ldots d^{3}q_{N))$ $E(p,q)$ $K(p)$ $U(q)$

$Z(N,V,T)={\frac {1}{N!\Lambda ^{3N))}\int \exp\{-\beta U(q)\}dq$

var är den termiska våglängden för de Broglie-partiklarna med massa vid en temperatur av . Således reduceras problemet till beräkningen av konfigurationsintegralen ${\displaystyle \Lambda ={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mkT))))$ $m$ $T$

$Q(N,V,T)=\int \exp\{-\beta U(q)\}dq$

Från integration över koordinater kan man gå vidare till integration över energi:

$Q(\beta )=\int \Omega (E)\exp(-\beta E)dE$

$\Omega (E)=\int \delta (U(q)-E)dq$

där är volymen för den del av konfigurationsutrymmet där systemets energi ligger i intervallet från till , är deltafunktionen. $\Omega (E)$ $E$ $E+dE$ $\delta$

Vi kommer att utföra beräkningar med ovanstående formler med numeriska metoder. Därför går vi från integraler till integraler. Systemets energiområde är uppdelat i ett ändligt antal lika stora segment. Värdena bestäms . Som ett resultat, för alla värden, kan dess kanoniska medelvärden beräknas med formeln: ${\displaystyle E_{min}\leq E\leq E_{max))$ $(N_{b})$ ${\displaystyle \Omega (E_{i}),i=1,2,...,N_{b))$ $f$

$<f>(\beta )={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N_{b))f_{i}\Omega _{i}\exp(-\beta E_{ i})}{\sum \limits _{i=1}^{N_{b}}\Omega _{i}\exp(-\beta E_{i}})}}$ ,

var är värdet på kvantiteten för det e energisegmentet. Eftersom det går in linjärt i både täljaren och nämnaren för formeln för , kan det förstås inte bara som en volym, utan också som en bråkdel av det konfigurationsutrymme som motsvarar energin . I varje tillstånd (konfiguration) har systemet en viss energi. De där. varje tillstånd (konfiguration) av systemet kan associeras med en punkt på energiskalan (axeln) i energirummet (detta utrymme är endimensionellt). Sekvensen av slumpmässiga förändringar i systemets konfiguration motsvarar den slumpmässiga promenaden för en punkt i energirummet. Genom att modellera processen med slumpmässiga promenader med Monte Carlo-metoden och känna till eller beräkna värdena för , kan vi hitta medelvärdena för fysiska storheter. $f_{i}$ $f$ $i$ $\Omega (E)$ $<f>$ $\Omega (E)$ $E$ ${\displaystyle \Omega _{i))$

Entropisk modelleringsalgoritm

Algoritmen för entropisk modellering är baserad på följande omständigheter. Genom att utföra en slumpmässig promenad i energirummet med övergångssannolikheter proportionella mot den reciproka densiteten av tillstånd , får vi en enhetlig energifördelning. Med andra ord, genom att välja övergångssannolikheterna så att besök av alla energitillstånd skulle bli enhetliga, kan man få en initialt okänd densitet av tillstånd . $1/\Omega (E)$ $\Omega (E)$

Låt oss skriva konfigurationsintegralen i den kanoniska ensemblen i formen:

$Q(\beta )=\int e^{-\beta E(q)}dq=\int \Omega (E)e^{-\beta E}dE=\int e^{S(E) -\beta E}dE$

var är entropin vid ett givet värde (ibland kommer den att utelämnas, eftersom det i simuleringen inte är nödvändigt att ta hänsyn till denna konstant). $S(E)=k\ln \Omega (E)$ $E$ $k$

Genom att vandra i konfigurationsutrymmet med övergångssannolikheter som uppfyller det detaljerade balansförhållandet

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1})}}=e^{-\beta (E(q_{2} })-E(q_{1})))}$ ,

få ett kanoniskt urval av stater (eller ). Ett godtyckligt urval av energitillstånd , där är en godtycklig funktion, , motsvarar villkoret ${\displaystyle P(q)\sim e^{-\beta E(q)))$ ${\displaystyle P(E)\sim e^{S(E)-\beta E))$ ${\displaystyle P(E)\sim e^{A(E)}=e^{S(E)-J(E)))$ $A(E)$ $J(E)=S(E)-A(E)$

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1})}}=e^{-\beta (J(E(q_ {2}))-J(E(q_{1})))}$ .

När , under vandring, bör ett enhetligt, inom den statistiska spridningen, prov av energitillstånd, , erhållas . I detta fall innebär definitionen av entropi $J(E)=S(E)$ $P(E)\sim const$

${\frac {p(q_{1}\rightarrow q_{2})}{p(q_{2}\rightarrow q_{1))}={\frac {\Omega (E(q_{1 } ))}{\Omega (E(q_{2)))))$

Således, om vi, med ett visst urval av övergångssannolikheter, får enhetliga besök i energitillstånd, kan vi beräkna tillståndstätheten och följaktligen konfigurationsintegralen . $\Omega (E)$ $Q(\beta )$

Anteckningar

↑ N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller och E. Teller, J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953).