Monoidal funktion

I kategoriteorin är monoidala funktorer funktorer mellan monoida kategorier som bevarar den monoida strukturen, det vill säga multiplikation och identitetselementet.

Definition

Låt och vara monoida kategorier. En monoidal funktor från till består av en funktor , en naturlig transformation $({\mathcal {C)),\otimes ,I_{\mathcal {C)))$ $({\mathcal {D)),\bullet ,I_{\mathcal {D)))$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$ $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

\phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)

och morfism

\phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}

kallas strukturella morfismer så att för alla , , till diagram $A$ $B$ $C$ ${\mathcal C}$

och

är kommutativa i kategorin . Här använder vi standardnotationen för den monoida strukturen för kategorierna och . ${\mathcal D}$ $\alpha ,\rho ,\lambda$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$

En starkt monoidal funktor är en monoidal funktor så att strukturmorfismerna är inverterbara. $\phi _{A,B},\phi$

En strikt monoidal funktor är en monoidal funktor vars strukturella morfismer är identiska.

Exempel

En glömsk funkor från kategorin abelska grupper till kategorin uppsättningar. Här är den strukturella morfismen den surjektion som induceras av standardkartläggningen ; mappning översätter singeltonen * till 1. $U:(\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{*\})$ $\phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)$ $A\times B\to A\otimes B\to$ $\phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z}$

Anteckningar

Kelly, G. Max (1974), "Doctrinal adjunction", Lecture Notes in Mathematics , 420 , 257-280