Monotone operatör

En monoton operator är en operator som uppfyller monotonitetsvillkoret. Begreppet en monoton operator är en generalisering av begreppet en monoton funktion . Det används ofta i funktionsanalys i studien och ungefärlig lösning av gränsvärdesproblem för partiella differentialekvationer.

Definition

Låta vara ett linjärt topologiskt utrymme och vara godtyckliga delar av . Beteckna den skalära produkten av elementen , är normen i rymden . Operatören heter: $X$ $u, v$ $u,v\in X$ $\langle u,v\rangle$ $u, v$ $\|.\|$ $X$ $A\in (X\till X*)$

monotont om ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant 0$
strikt monotont om för ; $\langle Au-Av,uv\rangle >0$ $u\neq v$
d - monotont om för någon strikt ökande funktion på ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant (\alpha (\|u\|)-\alpha (\|v\|))(\|u\|-\|v\|)$ $\alfa$ $\left[0,\infty \right)$
likformigt monoton om för någon strikt ökande funktion på c ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant \rho (\|uv\|)$ $\rho$ $\left[0,\infty \right)$ $\rho (0)=0$
starkt monotont (med konstant monotoni m) om , . ${\displaystyle \langle Au-Av,uv\rangle \geqslant m\|uv\|^{2))$ $m>0$
radiellt kontinuerlig om för någon fast reell funktion är kontinuerlig på . $u,v\in X$ $s\to \langle A(u+sv),v\rangle$ $\left[0,1\right]$
tvång , om det finns en verkligt värderad funktion med , sådan att $\left[0,\infty \right)$ $\gamma$ $\lim _{s\to \infty }=+\infty$ $\langle Au,u\rangle \geqslant \gamma (\|u\|)\|u\|$

Grundläggande teorem för teorin om monotonoperatorer

Låt vara en radiellt kontinuerlig monoton tvångsoperatör. Då är uppsättningen av lösningar av ekvationen för någon icke-tom, svagt stängd och konvex [1] . $A\in (X\till X*)$ $Au=f$ $f\in X*$

Anteckningar

↑ Gaevsky, 1978 , sid. 95.

Litteratur

Gaevsky H., Gröger K., Zacharias K. Icke-linjära operatorekvationer och operatordifferentialekvationer. — M .: Mir, 1978. — 336 sid.
Vainberg MM Variationsmetoden och metoden för montonoperatorer i teorin om olinjära ekvationer. — M .: Nauka, 1972. — 416 sid.