M-poäng

Maximum likelihood estimates (MLE) bestäms av ett av följande villkor:

\sum _{i}\ln P_{i}\to \max _{\theta \in \Theta },\qquad \sum _{i}{\frac {\partial \ln P_{i)) {\partial \theta }}=0,\qquad \sum _{i}{\frac {P_{i}'}{P_{i}}}=0

när det gäller ett ogrupperat prov och i fallet med ett grupperat prov, $P_{i}=f(x_{i},\theta )$ $P_{i}=\left(\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} x\right)^ {n_{i}}$

M-uppskattningar - det finns en viss generalisering av massförstörelsevapen. De definieras på liknande sätt av en av relationerna:

$\sum _{i=1}^{N}\rho (x_{i},\theta )\to \max _{\theta \in \Theta },\qquad \sum _{i=1} ^{N}\phi (x_{i},\theta )=0$

Om vi inför ett regularitetsvillkor i substitutionen och differentierar det med avseende på 0: $F_{t,x}=(1-t)F+t\Delta _{x}$ $t$

0={\frac {\partial }{\partial {t))}\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} F_{t,x}

0=\int {\frac {\partial \phi (x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta }}IF\,\mathrm {d} F_{t,x} +\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} {\frac {\partial ((1-t)F+t\Delta _{x})}{\ partiell t}}

0=IF\int {\frac {\partial \phi (x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta }}\,\mathrm {d} F_{t,x} +\phi (x,T(F_{t,x}))

då är det inte svårt att få uttrycket för påverkansfunktionen för M-uppskattningar : $IF={\frac {-\phi (x)}{\int \phi '_{\theta }(x)\,\mathrm {d} F))$

Detta uttryck låter oss dra slutsatsen att M-uppskattningarna är ekvivalenta upp till en konstant faktor som inte är noll.

Det är lätt att kontrollera att för MLE för den vanliga normalfördelningslagen ser påverkansfunktionerna för skiftparametern respektive skalparametern ut: ${\mathcal {N}}(0,1)$ $IF$

IF=x,\quad IF={\frac {1}{2}}\;x^{2}-{\frac {1}{2}}

Dessa funktioner är obegränsade, vilket innebär att MLE inte är robust vad gäller B-robusthet.

För att korrigera detta begränsar M-uppskattningar artificiellt, och därför begränsar det (se uttrycket för M-uppskattningar), vilket sätter en övre barriär för påverkan av extremvärden (långt ifrån parametrarnas förväntade värden) observationer. Detta görs genom att introducera de så kallade trunkerade M-uppskattningarna, definierade av uttrycket: $IF$ $IF$

$\phi _{b}(z)=\left\{{\begin{array}{lr}\phi (b),&b<z\\\phi (z),&-b<z\leqslant b\\\phi (-b),&z\leqslant -b\end{array}}\right.$

där , och är uppskattningar av skift- respektive skalparametrar. $z={\frac {x-\theta }{S}}$ $\theta$ $S$

Bland de trunkerade M-uppskattningarna är de trunkerade MLE optimala ur B-robusthetssynpunkt.

Se även

Robusthet i statistik

Källor

Robert G. Staudte: Robust uppskattning och testning . Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
Rand R. Wilcox: Introduktion till robust uppskattning och hypotestestning . Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3