Icke-desarguesisk geometri
En icke-Desarguesisk geometri är en projektiv geometri av planet där Desargues sats kanske inte håller. I det här fallet kallas det projektiva planet ett icke-desarguesiskt (projektivt) plan.
Exempel
- Cayley-planet är det projektiva planet över Cayley-algebra .
Härledning från axiomen
Desargues teorem kan inte bevisas i planet på basis av endast planets projektiva axiom utan att åberopa kongruensaxiomen eller utan att åberopa de rumsliga axiomen. Till exempel, i planets geometri, konstruerad på basis av alla plana system av Hilberts axiom , med undantag för trianglars kongruensaxiom , kan Desargues sats inte erhållas som en konsekvens av dem. Geometrin för detta plan är icke-desarguesisk; det kan inte betraktas som en del av den rumsliga geometrin där alla Hilbert-systemets axiom är uppfyllda, förutom det specificerade kongruensaxiomet. Med andra ord, ett icke-desarguesiskt projektivt plan bäddas inte in i projektiva rum av högre dimensioner.
Möjligheten att konstruera en icke-Desarguesisk geometri för planet gör det möjligt att klargöra oberoendet för olika grupper av axiom i Hilbert-systemet, samt att klargöra rollen av Desargues sats som ett oberoende ytterligare axiom för plan projektiv geometri.