Besicovitchs ojämlikhet

Besicovitch-olikheten i differentialgeometri är en relation som ger en lägre uppskattning för arean av en yta med en gräns som kan parametriseras med en kvadrat . Uppkallad efter Abram Besikovich . $[0,1]\ gånger [0,1]$

Formulering

För ett riemannskt mått på en dimensionell kub gäller följande olikhet: $g$ $n$ $[0,1]^n$

\mathop {\rm {vol}} ([0,1]^{n},g)\geq \prod _{i=1}^{n}a_{i}

där anger avståndet mellan det -: e paret av motsatta ytor. $a_{i}$ $g$ $i$

Konsekvenser

Låt det finnas en metrik utan konjugerade punkter på , som sammanfaller med den euklidiska metriken utanför den kompakta mängden . Då är det isometriskt till det euklidiska rummet . $g$ $\mathbb {R} ^{n}$ $(\mathbb {R} ^{n},g)$

Variationer och generaliseringar

Besicovitchs ojämlikhet med en konstant gäller för godtyckliga mått på en kvadrat, istället för volym kan man ta Hausdorff-måttet av samma dimension.

Finsler-mått har en liknande uppskattning med en konstant som beror på dimensionen och typen av volym.

Litteratur

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrisk geometrikurs. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .

Sergei Ivanov . Några geometriska olikheter och styvhetssatser . Lektorium ( 07.09.12 ). Hämtad 4 juni 2020. Arkiverad från originalet 4 juni 2020. (obestämd)