Vysochansky-Petunin ojämlikhet

I sannolikhetsteorin ger Vysochansky- Petunin-ojämlikheten en nedre gräns för sannolikheten med vilken en stokastisk variabel med ändlig varians är inom ett intervall vars gränser anges som en viss del av standardavvikelsen från medelvärdet för denna stokastiska variabel. Å andra sidan motsvarar detta att säga att olikheten indikerar en övre gräns för sannolikheten att den slumpmässiga variabeln hamnar utanför detta intervall. Den enda begränsningen för sannolikhetstäthetsfunktionen är att den måste vara unimodal och ha en finit varians. (Det följer av detta att en sådan fördelningsdensitetsfunktion är kontinuerlig utom för modpunkten, som kan ha en sannolikhet större än noll). Denna ojämlikhet gäller även för kraftigt skeva fördelningar, och sätter därigenom gränser för uppsättningen värden för en slumpvariabel som faller inom ett visst intervall.

Låt X vara en slumpvariabel med unimodal fördelning, medelvärde och ändlig varians som inte är noll . Sedan för alla , $\mu$ $\sigma ^{2}$ $\lambda >{\sqrt {8 \over 3}}\approx 1,63299$

P(\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2))}.

Det visas också att i fallet när , det finns asymmetriska fördelningar för vilka gränsen överskrids. $\lambda <{\sqrt {8 \över 3}}$ $4 \over {9\lambda ^{2}}$

Denna sats stärker Chebyshev ojämlikheten , inklusive bråkdelen , på grund av det faktum att unimodality begränsningen åläggs fördelningen täthet av den slumpmässiga variabeln. $4\över 9$

I tillämpningar av matematisk statistik används mycket ofta en heuristisk regel, där , som motsvarar den övre gränsen för sannolikheten , och därmed konstrueras en gräns som inkluderar 95,06 % av värdet av den slumpmässiga variabeln. Vid normalfördelning förbättras poängen till 99,73 %. $\lambda =3$ ${4 \over 81}\approx 0,04938$

Se även

Gaussisk olikhet , ett liknande resultat där avståndet tas från läget snarare än medelvärdet.

Källor

Vysochansky D. F., Petunin Yu. I. Bekräftelse av 3-sigma-regeln för unimodala distributioner. — Sannolikhetslära och mat. statistik, 1979, nr. 21, sid. 23-35.