Generaliserade Fresnel-integraler

Generaliserade Fresnel- integraler ( Böhmer-integraler ) är specialfunktioner som generaliserar Fresnel-integraler . Introducerad av Peter Böhmer 1939 [1] .

Generaliserad Fresnel cosinus:

\operatorname {C} (x,y)=\int _{x}^{\infty }t^{y-1}\cos(t)\,dt

Generaliserad Fresnel sinus:

\operatorname {S} (x,y)=\int _{x}^{\infty }t^{y-1}\sin(t)\,dt

Följaktligen uttrycks de vanliga Fresnel-integralerna i termer av Böhmer-integralerna enligt följande:

\operatorname {S} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {S} \left(y ^{2},{\frac {1}{2}}\right)

\operatorname {C} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {C} \left(y ^{2},{\frac {1}{2}}\right)

Genom de generaliserade Fresnel-integralerna kan man också uttrycka integral sinus och integral cosinus :

\operatörsnamn {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatörsnamn {S} (x,0)

\operatörsnamn {Ci} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatörsnamn {C} (x,0)

Litteratur

KB Oldham, JC Myland, J. Spanien. En atlas över funktioner . - 2:a uppl. - Springer, 2008. - 748 sid.

Anteckningar

↑ P.E. Bohmer. Differenzengleichungen und bestimmte Integrale (tyska) . - Leipzig, KF Koehler Verlag, 1939. - 148 S.