Omvänd pendel

En inverterad pendel är en anordning som är en pendel , som har ett masscentrum ovanför sin stödpunkt, fixerad vid änden av en styv stång. Ofta är stödpunkten fixerad på en vagn som kan röra sig horisontellt. Medan en normal pendel hänger stadigt nedåt, är en omvänd pendel i sig instabil och måste ständigt balanseras för att hålla sig upprätt, antingen genom att applicera vridmoment på vridpunkten eller genom att flytta vridpunkten horisontellt, som en del av återkopplingssystemet . Den enklaste demonstrationen skulle vara att balansera en penna i slutet av fingret.

Översikt

Den inverterade pendeln är ett klassiskt problem inom dynamik och kontrollteori och används ofta som ett riktmärke för att testa kontrollalgoritmer ( PID-kontroller , neurala nätverk , fuzzy kontroll , etc.).

Det omvända pendelproblemet är relaterat till missilstyrning, eftersom missilens motor är placerad under tyngdpunkten, vilket orsakar instabilitet. [1] Samma problem löses till exempel i Segway , en självbalanserande transportanordning.

Ett annat sätt att stabilisera en invers pendel är att snabbt svänga basen i ett vertikalt plan. I det här fallet kan du klara dig utan feedback. Om svängningarna är tillräckligt starka (när det gäller acceleration och amplitud) kan den omvända pendeln stabiliseras. Om den rörliga punkten svänger i enlighet med enkla harmoniska svängningar , så beskrivs pendelns rörelse av Mathieu-funktionen .

Rörelseekvationer

Med en fast stödpunkt

Rörelseekvationen liknar en rak pendel , förutom att tecknet för vinkelpositionen mäts från den vertikala positionen för den instabila jämvikten :

{\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0

När den översätts kommer den att ha samma tecken på vinkelacceleration :

{\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta

Således kommer den omvända pendeln att accelerera från den vertikala instabila jämvikten i motsatt riktning, och accelerationen kommer att vara omvänt proportionell mot längden. En hög pendel faller långsammare än en kort.

Pendel på en vagn

Rörelseekvationerna kan härledas med hjälp av Lagranges ekvationer . Vi pratar om figuren ovan, där pendelns vinkel är lång i förhållande till vertikalen och den verkande tyngdkraften och yttre krafter i riktningen . Bestäm vagnens position. Lagrangian av systemet: $\theta (t)$ $l$ $F$ $x$ $x(t)$ $L=TV$

L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta

var är vagnens hastighet och är materialpunktens hastighet . och kan uttryckas i termer av och genom att skriva hastigheten som den första derivatan av positionen. $v_{1}$ $v_{2}$ $m$ $v_{1}$ $v_{2}$ $x$ $\theta$

v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}

v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt)){\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\ vänster({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}

Att förenkla uttrycket resulterar i: $v_{2}$

v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^ {2}{\dot {\theta }}^{2}

Lagrangian definieras nu av formeln:

L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot { \theta ))\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta

och rörelseekvationerna:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \ partiell x}=F

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0

Substitution i dessa uttryck med efterföljande förenkling leder till ekvationer som beskriver rörelsen hos en invers pendel: $L$

\left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2 }\sin \theta =F

\ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta

Dessa ekvationer är icke-linjära, men eftersom målet med styrsystemet är att hålla pendeln vertikal kan ekvationerna linjäriseras genom att ta . $\theta \ca 0$

En pendel med en oscillerande bas

Rörelseekvationen för en sådan pendel är relaterad till en masslös oscillerande bas och erhålls på samma sätt som för en pendel på en vagn. Materialpunktens position bestäms av formeln:

\left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)

och hastigheten hittas genom den första derivatan av positionen:

v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2} {\dot {\theta }}^{2}.

Lagrangian för detta system kan skrivas som:

L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\ sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)

rörelseekvationerna följer av:

{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta ))}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0

som ett resultat:

\ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .

Om y fluktuerar i enlighet med enkla harmoniska vibrationer får vi differentialekvationen : $y=A\sin \omega t$

{\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .

Denna ekvation har ingen elementär lösning i sluten form, men kan studeras i många riktningar. Det är nära Mathieu-ekvationen , till exempel när oscillationsamplituden är liten. Analys visar att pendeln förblir upprätt när den svängs snabbt. Den första grafen visar att med en långsamt oscillerande pendel sjunker pendeln snabbt efter att ha lämnat ett stabilt vertikalt läge. Om den svänger snabbt kan pendeln vara stabil runt det vertikala läget. Den andra grafen visar att pendeln, efter att ha lämnat det stabila vertikala läget, nu börjar svänga runt det vertikala läget ( ) Avvikelsen från det vertikala läget förblir liten och pendeln faller inte. $y$
$y$ $\theta=0$

Applikation

Ett exempel är balansering av människor och föremål, till exempel i akrobatik eller enhjuling . Och även en segway - en elektrisk självbalanserande skoter med två hjul.

Den inverterade pendeln var en central komponent i utvecklingen av flera tidiga seismografer [2] .

Se även

självbalanserande enhjuling
segway
dubbel omvänd pendel
Gyroskopisk pendel
furuta pendel

Länkar

↑ Raketstabilitet (nedlänk) . Hämtad 23 april 2012. Arkiverad från originalet 7 juni 2013. (obestämd)
↑ Seismometrins tidiga historia (till 1900) (länk inte tillgänglig) . Hämtad 30 september 2017. Arkiverad från originalet 27 augusti 2016. (obestämd)

D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89ff

Ytterligare läsning

Franklin; et al. (2005). Återkopplingsstyrning av dynamiska system, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0