Generell dynamikekvation

Mekanikens allmänna ekvation är en matematisk formulering av d'Alembert-Lagrange-principen , som ger en allmän metod för att lösa problem med dynamik och statik och är en av de grundläggande principerna för teoretisk mekanik .( [1] P.142) Detta principen kombinerar principen om möjliga förskjutningar och d'Alembert-principen

Jämvikt i ett mekaniskt system

För en fri kropp, det vill säga en kropp på vilken inga begränsningar är införda, bestäms jämviktstillståndet i det kartesiska koordinatsystemet av lika med noll av summan av projektionerna av krafterna som verkar på varje komponent i systemet på koordinataxlar och summan av alla kraftmoment som appliceras på kroppen i förhållande till dessa axlar:

$\Sigma F_{x}(i)=\Sigma F_{y}(i)=\Sigma F_{z}(i)=0$ (ett)

och (2) $\Sigma (M_{x}(i)=\Sigma (M_{y}(i)=\Sigma (M_{z}(i)=0$

Uppfyllelsen av dessa villkor kommer att indikera att den valda referensramen är trög och därför i denna referensram kommer kroppen antingen att vara i vila eller röra sig utan att vrida (inklusive rotation) likformigt och rätlinjigt. ( [1] s.601)

Men uppfyllandet av dessa villkor är inte tillräckligt för att jämvikten ska upprätthållas oavsett yttre påverkan på systemet. För detta måste det vara hållbart .

Systemets jämvikt anses vara stabil om, med en liten kränkning av dess konservatism, d.v.s. en förändring i summan av dess kinetiska och potentiella energier ( [1] s. 309) av yttre påverkan, dess komponenter något avviker från jämviktspositionen och återgå till det efter inflytandets upphörande.

För konservativa system bestäms det tillräckliga villkoret för systemets jämvikt av Lagrange-Dirichlet-satsen , enligt vilken jämvikten är stabil om positionen för dess jämvikt motsvarar den minimala potentiella energin ( [1] s. 797).

Mekaniska anslutningar

Om kroppen inte är fri på grund av bindningarna på den, kommer de med formlerna (1) och (2) som inte hänvisar till bindningarnas reaktioner att avgöra systemets jämvikt. Resten av ekvationerna ger information som gör det möjligt att bestämma reaktionerna för bindningarna, vilket blir möjligt om bindningarna stela fast systemet och förhindrar rörelser i det ( [1] s.601). Annars skapar behovet av att ta hänsyn till kopplingsreaktionerna och införa dem i rörelseekvationen ett problem som inte alltid är lösbart. [2]

Principen för möjliga förskjutningar

En förändring i tillståndet för ett mekaniskt system bestäms av en förändring i dess koordinater , som bestämmer antalet frihetsgrader . I många fall är deras antal begränsat av anslutningar, som förhindrar vissa förändringar genom att våld verkar på komponenterna i systemet. De återstående möjligheterna att ändra koordinater bestäms av de möjliga förskjutningarna .

Principen om möjliga förskjutningar är en av variationsprinciperna inom vetenskapen om kroppars rörelse. Den etablerar ett allmänt jämviktsförhållande för ett mekaniskt system. I det här fallet förstås jämvikt som ett sådant tillstånd av ett mekaniskt system som är föremål för påverkan av krafter, där alla materialpunkter som bildar systemet inte ändrar sin position, det vill säga de är i vila med avseende på detta system. Om denna jämvikt observeras i en tröghetsram , kallas en sådan jämvikt absolut , i en icke-tröghetsram kommer balansen endast att vara relativ .( [1] P.601)

Denna princip säger:

För jämvikten i ett mekaniskt system med idealiska (ingen arbete) bindningar är det nödvändigt och tillräckligt att summan av arbetet av alla aktiva krafter som appliceras på systemet vid eventuell förskjutning av systemet är lika med noll ( [1] s. 81)

$\Sigma (\delta A(i)=\Sigma (F(i)\cos \alpha (i)\delta s(i)=0$ (3)

$\delta A(i)$ det finns ett elementärt arbete som utförs av "aktiva krafter" riktade i en vinkel mot riktningen för den virtuella förskjutningen $F(i)$ $\alfa (i)$ $\delta s(i)$

Förbehållet om aktiva krafter sörjer för frånvaron av tröghetskrafter, det vill säga hänsyn till möjliga förskjutningar i en tröghetsreferensram.

Det är väsentligt att antalet aktiva krafter också inkluderar reaktioner av bindningar som är svåra, och i vissa fall inte alls mottagliga för matematisk beskrivning. I det här fallet visar det sig vara effektivt att införa absolut stela bindningar i beaktande , som inte är deformerbara och därför inte utför arbete. Liksom tröghetsreferensramar är sådana länkar en abstraktion, acceptabel endast under förutsättning att felen som är ett resultat av deras acceptans inte överstiger det tidigare överenskomna värdet. Men om man antar att bindningarna är absolut stela, är det möjligt att, när man löser problemet med jämvikt i ett mekaniskt system utifrån principen om möjliga förskjutningar, generellt utesluta bindningens reaktion .( [2 ] s. 178 −189)

d'Alemberts princip

När det gäller mekaniska system som inte är i ett jämviktstillstånd kan kopplingsreaktionerna inte ignoreras. Men samtidigt som man bibehåller antagandet om dessa bindningars absoluta stelhet, visar det sig att i detta fall har begreppet bindning förlorat sitt fysiska innehåll och möjligheten att uttrycka bindningarnas reaktioner som en funktion av koordinater har försvunnit [2 ] , därför är det omöjligt att skriva differentialekvationer för rörelse.

En väg ut ur denna svårighet föreslog d'Alembert.

Newtons andra lag är skriven i formen:

${m_{i}}{\vec a}$ = + (4) ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}_{b},$

där bindningarnas reaktionskraft adderas till den kraft som verkar på kroppen ${\vec F}_{b}$

Sedan överförs alla villkor för jämlikheten till vänster:

( - ) + = 0 (5) ${\vec {F}}$ ${m_{i}}{\vec a}$ ${\vec F}_{b}$

Det finns ett utseende av en balans av krafter, vilket gör det möjligt att formellt tillämpa principen om möjliga förskjutningar. Och därför blev det här möjligt att inte ta hänsyn till reaktionskrafterna för bindningar [2] .

Men kraften (- ) är inget annat än reaktionskraften från Newtons tredje lag eller den Newtonska tröghetskraften , som inte appliceras på kroppen. Här, tack vare en konstgjord teknik, är den fäst vid denna kropp. Därmed har en paradoxal situation skapats, som består i att ömsesidigt kompenserande krafter verkar på kroppen, men kroppen rör sig ändå med acceleration. ${m_{i}}{\vec a}$

Därför är kraften (- ), som kallas d'Alemberts tröghetskraft på grund av att den inte är en konsekvens av objektiva fysiska processer, utan en produkt av subjektiv vilja, säkerligen fiktiv [2] . ${m_{i}}{\vec a}$

D'Alembert-Lagrange-principen

I början innehöll inte d'Alembert-principen något om tröghetskrafterna. Men med tiden började under vektorn (- ) förstå tröghetskraften [3] (Referens i [2] s.131). ${m_{i}}{\vec a}$

I ett mekaniskt system med idealiska anslutningar är summan av elementärt arbete utfört av aktiva krafter och tröghetskrafter på varje möjlig (virtuell) förskjutning lika med noll.

Generell ekvation för dynamik

Det är skrivet så här:

\Sigma (\delta A_{a}(i)+\delta A_{j}(i))=0

(6)

eller annars:

\Sigma (F_{a}(i)\cos \alpha (i)+F_{j}(i)\cos \beta (i))\delta s(i)=0.

(7)

Här finns elementärt arbete utfört av "aktiva krafter" - index x = a (det vill säga krafter vars ursprung i princip kan spåras) och Euler-tröghetsindex - x = j (det vill säga krafter som uppstår på grund av verkan av andra aktiva krafter inte på sig själv den i -te komponenten i systemet, utan mot referensramen, som som ett resultat ändrade dess acceleration). $\delta A_{x}(i)$

I (7) antas att arbetet orsakas av en kraft riktad i en vinkel för den aktiva kraften och i en vinkel för tröghetskraften mot den virtuella förskjutningens riktning . $F_{x}(i)$ $\alfa (i)$ $\beta (i)$ $\delta s(i)$

Notera

Mekanikens allmänna ekvation tar hänsyn till arbetet med tröghetskrafter tillsammans med arbetet med aktiva krafter. Detta betyder att ur de allmänna principerna för mekanik i förhållande till tröghetskrafterna (mer exakt, Euler tröghetskrafterna) "... det bör erkännas att vi inte har någon god anledning att tvivla på krafternas verklighet av tröghet ...” ( [2] s. 178)

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Physical Encyclopedic Dictionary / Kap. ed. A. M. Prokhorov. Red.col. D.M. Alekseev, A.M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov och andra - M .: Sov. encyclopedia, 1983.-323 s., il, 2 ark färg ill.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Khaykin, Semyon Emmanuilovich . Tröghetskrafter och viktlöshet . M., 1967. Förlaget "Nauka". Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur.
↑ Nikolai E. L. samling "Proceedings of the Leningrad Industrial Institute" nr 6,1936, ONTI, Leningrad