Begränsade ofullständiga kvoter

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 juli 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Inom matematiken sägs ett reellt tal ha avgränsade partiella kvoter om, när det expanderas till en fortsatt bråkdel , partialkvoterna inte tar godtyckligt stora värden.

Definition

kedjeskott

x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_ {2}+\dots}}}}}

har avgränsat ofullständiga kvoter om det finns ett antal så att för någon . $c$ $a_{i}\leq c$ $i\geq 0$

Egenskaper

varje periodisk fortsatt fraktion har gränsade partiella kvoter;

om har begränsat ofullständiga kvotienter, då i den binära representationen av värdet av Minkowski-funktionen vid en punkt begränsas avståndet mellan intilliggande (i detta sammanhang kan en uppsättning sådana tal förstås som en bred generalisering av idén om att konstruera ett Cantor-set ). $x$ $x$

Zarembas hypotes

Den fortsatta bråkexpansionen av ett rationellt tal är alltid finit, så alla dess partiella kvoter begränsas av den största av dem. Av särskilt intresse är därför frågan om det är möjligt att införa enhetliga begränsningar för de ofullständiga fraktionerna av majoriteten av rationella tal. Den regisserades av Stanislav Zaremba 1972.

Zarembas hypotes

Det finns en absolut konstant så att det för varje nämnare finns en täljare så att de partiella delarna av det irreducerbara bråket $c$ $q\in {\mathbb {N} }$ $a<q$ $(a,q)=1$

{\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]

begränsas av ojämlikhet $a_{i}\leq c,\ i=1,\dots ,s$

Burgain och Kontorovich bevisade gissningen för uppsättningen av tal med densitet 1. [1] För små värden av de konstanta och separata uppsättningarna av tillåtna värden , svagare nedre gränser för fördelningarna av sådana . [2] $q$ $c$ $a_{i}$ $q$

Litteratur

J. Bourgain, A. Kontorovich. På Zarembas gissningar // Annals of Mathematics. - 2014. - Vol. 180 . - S. 137-196 .

I. D. Kan. Förstärkning av Bourgain–Kontorovich-satsen. IV // Ryska vetenskapsakademins handlingar. - 2016. - T. 80 , nr. 6 . — S. 103–126 . (ryska)

Anteckningar

↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 .
↑ Se Kahn, 2016 och andra verk i samma serie.