Villarceaus omkrets

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 mars 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

Villarceaus cirklar - uppkallade efter den franske astronomen och matematikern Yvon Villarceau (1813-1883) - är ett par cirklar som erhålls genom att skära en rotationstorus med ett "diagonalt" tangentplan som går genom torusens centrum . På grund av torus symmetri vidrör detta plan ytan på torus två gånger, det vill säga det är bitangent.

Familjerna av paralleller, meridianer och två familjer av Villarceau-cirklar bildar tillsammans fyra parvisa tvärgående familjer av cirklar på torus. [1] De konforma bilderna av revolutionens torus, Dupin-cykliderna , har samma egenskap – att ha fyra parvisa tvärgående cirklar .

Formel och bevis på existens

Låt två skärande cirklar med radie ges av formlerna $R,(r<R)$

$(x+r)^{2}+y^{2}-R^{2}=0,$

$(xr)^{2}+y^{2}-R^{2}=0.$

Produkten av dessa två ekvationer kan reduceras till formen

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2(R^{2}+r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r ^{2})y^{2}+(R^{2}-r^{2})^{2}=0.$

Denna fjärde ordningens ekvation definierar två skärande cirklar och är uppenbarligen en torisk sektionsformel . I cirklarnas skärningspunkter skär kurvor som samtidigt hör till sektionens plan och torusytan. Därför, vid dessa punkter, berör skärplanet torusens yta.

Litteratur

Yvon Villarceau, Antoine Joseph François . Théorème sur le tore (franska) // Nouvelles Annales de Mathématiques :tidskrift. - Paris: Gauthier-Villars, 1848. - Vol. 7 Serie 1 . - s. 345-347 .
Coxeter, HSM Introduktion till geometri (obestämd) . — 2/e. - Wiley, 1969. - S. 132-133 . — ISBN 978-0-471-50458-0 .

Se även

Anteckningar

↑ "Dimensioner" mattefilmkommentar till kapitel 7 och 8 Arkiverad 29 september 2009 på Wayback Machine .

Villarceaus omkrets

Formel och bevis på existens

Litteratur

Se även

Anteckningar

Länkar