Grundläggande gissningar om kombinatorisk topologi
Den grundläggande kombinatoriska topologiförmodan (eller Hauptvermutung ) är gissningen som säger att två godtyckliga trianguleringar av samma utrymme tillåter isomorfa underavdelningar.
Den formulerades 1908 av Ernst Steinitz och Heinrich Tietze .
Denna hypotes motbevisades i allmänhet. Dessutom visade det sig vara felaktigt för vissa varianter av dimension 4 och högre.
Lösningshistorik
Ett motexempel till det allmänna fallet konstruerades John Milnor 1961 med hjälp av torsionen [ett]
För grenrör är gissningarna sanna i dimensionerna 2 och 3. Dessa fall bevisades av Tibor Rado och Edwin Moiz på 1920- respektive 1950-talen. [2]
hinder för gissningarna för grenrör hittades Casson och Dennis Sullivan 1967-1969 Rokhlin-
En homeomorfism ƒ: N → M mellan m -dimensionella bitvis linjära grenrör har en invariant κ(ƒ) ∈ H 3 ( M ; Z /2 Z ) så att för m ≥ 5 ƒ är isotopisk till den bitvis linjära homeomorfismen om och endast om κ(ƒ) = 0.
Hindret för att uppfylla hypotesen är en relativ variant av Kirby-Siebenmann-klassen och definieras för alla kompakta m - dimensionella topologiska grenrör
använder Rokhlin-invarianten. För m ≥ 5 har M en bitvis linjär struktur (det vill säga den kan trianguleras av ett bitvis linjärt grenrör) om och endast om κ(ƒ) = 0, i vilket fall de bitvis linjära strukturerna definieras av elementet H 3 ( M ; Z / 2Z ). I synnerhet finns det bara ändligt många olika bitvis linjära strukturer på M .
För kompakta, enkelt sammankopplade grenrör av dimension 4 fann Simon Donaldson exempel med ett oändligt antal icke-ekvivalenta bitvis linjära strukturer, och Mikhail Fridman hittade ett E8-grenrör som inte heller tillåter triangulering.
2013 bevisade Cyprian Manolescu förekomsten av kompakta grenrör av dimension 5 (och därför alla dimensioner större än 5) som inte tillåter triangulering. [3]
Anteckningar
- ↑ John W. Milnor. Två komplex som är homeomorfa men kombinatoriskt distinkta // Annals of Mathematics . - 1961. - Vol. 74. - P. 575-590. - doi : 10.2307/1970299 . . MR : 133127 _
- ↑ Moise, Edwin E. Geometric Topology in Dimensions 2 and 3. - New York: Springer-Verlag, 1977. - ISBN 978-0-387-90220-3 .
- ↑ Ciprian Manolescu. Pin(2)-ekvivariant Seiberg–Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture // J. Amer. Matematik. Soc.. - 2016. - Vol. 29. - S. 147-176. doi : 10.1090 / jams829 .