Grundläggande teorem för affin geometri

Huvudsatsen för affin geometri är en generalisering av satsen för euklidisk geometri att varje bijektiv transformation av ett euklidiskt rum med dimensionen minst 2 är affint till fallet med godtyckliga affina rum och godtyckliga semi-affina avbildningar mellan dem. Teoremet har en ganska enkel formulering, men dess bevis är långt och inte uppenbart. [ett]

Formulering

Låt vara ett vektorrum över kroppen , vara ett vektorrum över kroppen . Låt oss definiera en semilinjär mappning som en mappning som uppfyller egenskapen , där är en isomorfism av kroppar och . Låta och vara de affina utrymmen förknippade med respektive . Vi definierar en semi-affin mappning som en mappning som uppfyller egenskapen , där är en semilinjär mappning. $V$ $K$ $V'$ $K'$ $f:V\rightarrow V'$ $f(\lambda x+\mu y)=\phi (\lambda )f(x)+\phi (\mu )f(y)\ \forall x,y\in V\ \forall \lambda ,\ mu \in K$ $\phi$ $K$ $K'$ $S$ $S'$ $V$ $V'$ $F:S\rightarrow S'$ $F(A)-F(B)=f(AB)\ \forall A,B\in S$ $f:V\rightarrow V'$

Grundläggande teorem för affin geometri : Låt lite kartläggning uppfylla följande villkor: $F:S\rightarrow S'$

$\operatorname {dim} {{\texttt {<}}F(S){\texttt {>}}}\geq 2$
Om , då bilden av en rät linje eller punkt $K,K'\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
Om , så är bilden av ett plan ett plan, en linje eller en punkt $K=K'=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

Sedan är en semi-affin karta. [2] $F$

Bevis

Lemma 1. Låta och vara affina utrymmen associerade med och över skevningsfält och , respektive , vara en injektiv kartläggning som kartlägger linjer till linjer och bevarar parallellitet. Sedan är en semi-affin karta. [3] $S$ $S'$ $V$ $V'$ $K$ $K'$ $\operatörsnamn {dim} {S}\geq 2$ $F:S\rightarrow S'$ $F$

Bevis.

ett). Definitionens riktighet $f$

För att vara semi-affin måste mappningen som definieras som vara halvlinjär. Först måste vi bevisa riktigheten av denna definition. För att göra detta måste vi bevisa att lika stiftade vektorer går in i lika stiftade vektorer. Observera att på grund av injektivitet går olika linjer till olika linjer. Låt . Låt sedan . Om de inte ligger på samma linje, går båda till olika parallella linjer och går till olika parallella linjer. Låt , . Sedan . Men de ligger inte på samma linje och är icke-kollinjära. Om de ligger på samma linje, ta då en punkt och . Sedan och är väl definierad. $F$ $f:V\rightarrow V'$ $f({\overrightarrow {AB)))=F(B)-F(A)\ \forall A,B\in S$

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}\neq {\overrightarrow {0}}$ ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}}+{\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {AC}}\Rightarrow {\overrightarrow {BD}}={\overrightarrow {AC} }$
$F(A)=A',...,F(D)=D'$ $A,B,C,D$ $AB$ $CD$ $BD$ $AC$ ${\overrightarrow {C'D'}}=\lambda {\overrightarrow {A'B'}}$ ${\overrightarrow {B'D'}}=\mu {\overrightarrow {A'C'}}$ ${\overrightarrow {0}}={\overrightarrow {A'B'}}+{\overrightarrow {B'D'}}+{\overrightarrow {D'C'}}+{\overrightarrow {C' A'}}={\overrightarrow {A'B'}}+\mu {\overrightarrow {A'C'}}-\lambda {\overrightarrow {A'B'}}-{\overrightarrow {A'C' }}=(1-\lambda ){\overrightarrow {A'B'}}+(\mu -1){\overrightarrow {A'C'}}$ $A',B',C'$ $\Rightarrow {\overrightarrow {A'B'}}$ ${\overrightarrow {A'C'))$ $\Rightarrow \lambda =1\Rightarrow {\overrightarrow {C'D'}}={\overrightarrow {A'B'}}$
$A,B,C,D$ $G\in S\backslash {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ $H=G+{\overrightarrow {AB}}$ ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {GH}}={\overrightarrow {CD}}$ $f$

2). Additivitet $f$

$f({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}})=f({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}})=f({\overrightarrow {AC}} )=F(C)-F(A)=F(C)-F(B)+F(B)-F(A)=f({\överhögerpil {AB)))+f({\överhögerpil {BC }})=f({\overrightarrow {u}})+f({\overrightarrow {v}})$

3). Definitionens riktighet $\phi$

Låt oss definiera en sådan mappning för vilken vi kommer att bevisa riktigheten av dess definition. $\phi :K\rightarrow K'$ $f(\lambda {\overrightarrow {u)))=\phi (\lambda )f({\overrightarrow {u)))\ \forall \lambda \in K\forall {\overrightarrow {u))\ i V$

Låt en vektor som inte är noll, , . Sedan - ligg på samma linje - ligg också på samma linje . Det återstår att bevisa att det bara beror på . ${\overrightarrow {u}}\in V$ $\lambda \in K$ ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {u}},C=A+\lambda {\overrightarrow {u}}$ $A,B,C$ $F(A),F(B),F(C)$ $f(\lambda {\overrightarrow {u)))=\alpha f({\overrightarrow {u)))$ $\alfa$ $\lambda$

Låt oss ta två vektorer som inte är noll och . Låt . Om och är icke-kollinjära, så är deras bilder vid också icke-kollinjära (annars bilderna av två icke-sammanfallande linjer som passerar igenom med guiderna och skulle sammanfalla, vilket är omöjligt på grund av injektivitet ). Låt . Sedan . Om och är kolinjära, så väljer vi en vektor som är linjärt oberoende av dem. Låt . Sedan, av det tidigare påståendet , är mappningen väldefinierad. $\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{v}$ $f(\lambda {\överhögerpil {u)))=\alpha f({\överhögerpil {u)))f(\lambda {\överhögerpil {v)))=\beta f({\överhögerpil { b ))$ $\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{v}$ $f$ $A$ $\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{v}$ $F$ $f(\lambda ({\overrightarrow {u))+{\overrightarrow {v))))=\gamma f({\overrightarrow {u))+{\overrightarrow {v)))$ $f(\lambda ({\overrightarrow {u))+{\overrightarrow {v))))=\alpha f({\overrightarrow {u)))+\beta f({\overrightarrow {v)) )=\gamma f({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}})=\gamma f({\overrightarrow {u}})+\gamma f({\overrightarrow {v}}))) \ Högerpil \alpha =\gamma =\beta$
$\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{v}$ ${\overrightarrow {w))$ $f(\lambda {\overrightarrow {w)))=\gamma f({\overrightarrow {w)))$ $\alpha =\gamma =\beta$ $\phi$

fyra). är en isomorfism av kroppar $\phi$

Låt vara en vektor som inte är noll. Sedan . Bilden av en vektor som inte är noll vid noll, och därmed . $\overrightarrow{u}$ $f((\lambda +\mu ){\overrightarrow {u)))=\phi (\lambda +\mu )f({\overrightarrow {u)))=f(\lambda {\overrightarrow {u }})+f(\mu {\överhögerpil {u}})=(\phi (\lambda )+\phi (\mu ))f({\överhögerpil {u}})$ $f$ $\phi (\lambda +\mu )=\phi (\lambda )+\phi (\mu )$

$f((\lambda \mu ){\overrightarrow {u)))=\phi (\lambda \mu )f({\overrightarrow {u)))=\phi (\lambda )f(\mu { \overrightarrow {u)))=\phi (\lambda )\phi (\mu )f({\overrightarrow {u)))$ och eftersom bilden av en vektor som inte är noll är inte noll. $\phi (\lambda \mu )=\phi (\lambda )+phi(\mu )$

Låt vara en bijektion på , och begränsningen på vara en bijektion i . Då är en bijektion på , vilket innebär att det är en bijektion. $g(\lambda )=A+\lambda {\överhögerpil {u))$ $K$ $D=A+{\overrightarrow {u}}$ $F$ $D$ $F(D)$ $F(g(\lambda ))=F(A)+\phi (\lambda )f({\overrightarrow {u)))$ $K$ $F(D)$ $\phi$

Lemma 2 (geometrisk karaktärisering av affina delrum). Låt den ha minst tre element. Om delmängden av det affina rummet som är associerat med vektorrummet över , tillsammans med två valfria punkter , inkluderar , är denna delmängd ett affint delrum av . $K$ $S$ $S'$ $V$ $K$ $A,B$ ${\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ $S$

Bevis. För att bevisa detta lemma är det nödvändigt att bevisa att det är ett delrum i . $E=\{{\overrightarrow {AB}}|A,B\in S\}$ $V$

${\overrightarrow {v}}\in E\Rightarrow \exists A,B\in S:{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {AB}}\Rightarrow {\texttt {<}}A, B{\texttt {>}}\subset S\Rightarrow A+\lambda {\overrightarrow {AB}}=C\in S\Rightarrow {\overrightarrow {AC}}=\lambda {\overrightarrow {AB}}=\lambda {\overrightarrow {v}}\in E$

Låt oss bevisa det . Låt oss ta . Sedan dess . Sedan . $\forall A,B,C\in S:A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in S$ $k\in K\backslash \{0,1\}$ ${\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}\subset S,{\texttt {<}}A,C{\texttt {>}}\subset S$ $B'=A+k^{-1}{\overrightarrow {AB}}\in S,C'=A+(1-k)^{-1}{\overrightarrow {AC}}\in S$ $C'+k{\overrightarrow {C'B'}}=A+{\overrightarrow {AC'}}+k{\overrightarrow {C'B'}}=A+(1-k)^{-1 }{\overrightarrow {AC}}+kk^{-1}{\overrightarrow {AB}}-k(1-k)^{-1}{\overrightarrow {AC}}=A+{\overrightarrow {AB}} +(1-k)^{-1}(1-k){\overrightarrow {AC}}=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in S$

Låt . Sedan . är ett delrum i . ${\overrightarrow {v}},{\overrightarrow {u}}\in E\Rightarrow \exists A,B,C,D\in S:{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {AB} },{\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {CD}}$ $G=C+{\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {CA}}\in S,H=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AG}}\in S$ ${\overrightarrow {AH}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AG}}={\overrightarrow {AB}}+C+{\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {CA} }-A={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}\in E\Rightarrow E$ $V$

Lemma 2 för $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$ Om en delmängd av det affina rummet associerat med ett vektorrum över , tillsammans med tre punkter , inkluderar , så är denna delmängd ett affint delrum av . [fyra] $S$ $V$ $K$ $A,B,C$ ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ $S$

Bevis.

${\overrightarrow {v}}\in E\Rightarrow 0{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {0}}\in E,1{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {v} }\inE$

Låt . Resten liknar det tidigare beviset. $\forall A,B,C\in S\Rightarrow A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {> }}\subset S\Rightarrow {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in E$

Bevis för grundsatsen för affin geometri.

Huvudidén med beviset för teoremet för det allmänna fallet är faktoriseringen av kartläggningen till en sammansättning av de injektiva och surjektiva komponenterna och beviset för semi-affiniteten för var och en separat. Vidare, överallt finns bilderna av poäng för respektive . $F$ $A,B,C,...$ $F$ $A',B',C',...$

För $K\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

ett). Bilden av ett underrum i at är ett underutrymme i $R$ $S$ $F$ $S'$

Låt . Låt oss ta godtyckliga två punkter och deras omvända bilder . Sedan , av Lemma 2 , är ett delrum i . $F(R)=R'$ $A',B'\in R'$ $A,B\in R$ ${\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})\subset R'\Rightarrow$ $R'$ $R$

2). $\forall A,B\in S\ F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B'{\texttt {> }}$

Om , då och Om och , då är en linje, och bilden måste vara en linje som går igenom , det vill säga Om och , anta att det finns en punkt sådan att . Eftersom det är möjligt att konstruera ett parallellogram . ( valfri prototyp ). Enligt (1) övergår delrum till delrum i är förbilden (vi betecknar den med ). Sedan , eftersom om dessa linjer skär varandra, skulle en punkt ha 2 bilder. Men och skär i punkten , vilket betyder att de inte kan vara parallella. Motsägelse. Så alla poäng går till en och $A=B$ $A'=B'$ $F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'={\texttt {<}}A', B'{\texttt {>}}$
$A\neq B$ $A'\neq B'$ ${\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ $A',B'$ ${\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}$
$A\neq B$ $A'=B'$ $C\in {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ $C'\neq A'$ $\operatörsnamn {dim} {F(S)}\geq 2$ $A'C'H'G'$ $F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',C'{\texttt {>}}\Rightarrow G\notin {\ texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ $G$ $G'$ ${\texttt {<}}A',C',G'{\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}A,C,G{\texttt {>}})\ Höger pil$ ${\texttt {<}}A',C',G'{\texttt {>}}$ $H'$ ${\displaystyle}$ $CH\parallel AG\parallel BG$ $AG$ $BG$ $G$ ${\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ $F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'={\texttt {<}}A', B'{\texttt {>}}$

3). Den omvända bilden av ett delrum i at är ett delrum i eller den tomma uppsättningen. $R'$ $S'$ $F$ $S$

Låt icke-tomma, . Med (2) , eftersom är ett delrum av . Sedan är ett delrum av Lemma 2. $R=F^{-1}(R')$ $A,B\in R$ $F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}\subset R'$ $R'$ $S'$ ${\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}\subset R\Rightarrow R$

För ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$

ett). Bilden av ett underrum i at är ett underutrymme i $R$ $S$ $F$ $S'$

Låt . Låt oss ta godtyckliga tre punkter och deras omvända bilder . Sedan , av Lemma 2 , är ett delrum i . $F(R)=R'$ $A',B',C'\in R'$ $A,B\in R$ ${\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})\ delmängd R'\Rightarrow$ $R'$ $R$

2). $\forall A,B,C\in S\ F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B', C'{\texttt {>}}$

Om , då och Om , då är en linje Om och , går sedan in i ett plan som går igenom , det vill säga Om och , går sedan in i en rät linje som går igenom , det vill säga Om och , går sedan in i en linje eller en punkt . Antag att i en rak linje, det vill säga för . Eftersom vi väljer en punkt så att den inte sammanfaller med någondera . Låt oss ta dess prototyp . Det finns en punkt till i planet . Låt oss ringa henne . Planet går in i ett plan, varför det är en ny punkt. Planet består av två parallella linjer, varav en går till en punkt och den andra till en rät linje. Låt oss ta den som går till saken. Sedan tillsammans med de bildar ett plan som passerar in i en uppsättning av tre punkter. Motsägelse. Så det går till saken och . $A=B=C$ $A'=B'=C'$ $F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'=F(C)=C'= {\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$
$A=B\neq C$ ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ $\Rightarrow {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}=\{A,C\}\Rightarrow F({\texttt {<}}A,B,C{\ texttt {>}})=\{A',C'\}={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$
$A\neq B\neq C$ $A'\neq B'\neq C'$ ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ $A',B',C'$ $F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$
$A\neq B\neq C$ $A'=B'\neq C'$ ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ $A',B',C'$ $F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$
$A\neq B\neq C$ $A'=B'=C'$ ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ $D=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\ F(D)=D'\neq A'$ $\operatörsnamn {dim} {F(S)}\geq 2$ $G'$ $A',D'$ $G$ $ABG$ $H$ $ABG$ $H'$ $ABC$ $GH$ $A'$ $GH$ ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ $F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'=F(C)=C'= {\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$

3). Den omvända bilden av ett delrum i at är ett delrum i eller den tomma uppsättningen. $R'$ $S'$ $F$ $S$

Låt icke-tomma, . Med (2) , eftersom är ett delrum av . Sedan är ett delrum av Lemma 2. $R=F^{-1}(R')$ $A,B,C\in R$ $F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}\subset R'$ $R'$ $S'$ ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}\subset R\Rightarrow R$

För vilken kropp som helst

fyra). är en delmängd . Sedan $X$ $S$ $F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})={\texttt {<}}F(X){\texttt {>}}$

$X\subset {\texttt {<}}X{\texttt {>}}\Rightarrow F(X)\subset F({\texttt {<}}X{\texttt {>}}).$ Men av (1) är ett affint delrum av . $F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})$ $\Rightarrow {\texttt {<}}F(x){\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})$

$F(X)\subset {\texttt {<}}F(X){\texttt {>}}\Rightarrow X\subset F^{-1}({\texttt {<}}F(X) {\texttt {>)))$ . Vid (3) är ett affint delrum $F^{-1}({\texttt {<}}F(X){\texttt {>}})$ $\Rightarrow {\texttt {<}}X{\texttt {>}}\subset F^{-1}({\texttt {<}}F(X){\texttt {>}})\Högerpil F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})\subset {\texttt {<}}F(X){\texttt {>}}$

5). Bilderna av parallella linjer antingen sammanfaller eller skär inte varandra

Låt oss beteckna dessa rader som deras bilder . Låt dem skära varandra . Sedan på var och en av linjerna finns det en punkt respektive sådan att deras bild är denna skärningspunkt. Låt oss välja på och på ytterligare en punkt och resp. Sedan ${\displaystyle L_{1},L_{2))$ $L_{1}',L_{2}'$ $L_{1}'$ $L_{2}'$ $L_{1}$ $L_{2}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $B_1$ $B_{2}$ $L_{1}'=F(L_{1})=F({\texttt {<}}A_{1},B_{1}{\texttt {>}})={\texttt {<} }A_{1}',B_{1}'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A_{1}',A_{2}',B_{1}'{\texttt {>} }=F({\texttt {<}}A_{1},A_{2},B_{1}{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A_{1},A_{ 2},B_{1},B_{2}{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A_{1},A_{2},B_{2}{\texttt {>} })={\texttt {<}}A_{1}',A_{2}',B_{2}'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A_{2}',B_{ 2}'{\texttt {>}}=F({\texttt {<}}A_{2},B_{2}{\texttt {>}})=F(L_{2})=L_{2} '$

6). Låt bilderna av parallella linjer inte ha några gemensamma punkter. Då är de antingen parallella linjer eller punkter

Låt oss ta två olika punkter och en punkt . Då ligger de i samma plan. Låt vara en rak linje, då har den dimension . Låt vara en punkt, ta sedan ytterligare en punkt på linjen och , det vill säga dimensionen är mindre än . Motsägelse. Det betyder antingen båda linjerna, eller båda punkterna, och om de är linjer så är de parallella, eftersom de ligger i samma plan och inte skär varandra. $A,B\in L_{1}$ $C\in L_{2}$ $F({\texttt {<}}L_{1},L_{2}{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>} })={\texttt {<}}L_{1}',L_{2}'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>} }\Rightarrow L_{1}'$ $L_{2}'$
$L_{1}'$ ${\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$ $2$ $L_{2}'$ $D\neq C$ $L_{2}$ ${\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}=F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=F ({\texttt {<}}A,C,D{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',C',D'{\texttt {>}}={\texttt {< }}A',C'{\texttt {>}}$ ${\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$ $2$ $L_{1}',L_{2}'$

7). Alla icke-tomma inversa bilder av punkter har samma riktningsdelrum

Låt olika punkter med icke-tom förbild. Låt oss beteckna dessa förbilder . Med (3) är dessa affina delrum, vilket betyder att de har vägledande delrum (vi betecknar respektive ). Låt , . Ta lite poäng och . Låt oss också ta . . Linjen är parallell . Att byta positioner får vi , vilket betyder . $A',B'$ $S'$ $A^{*},B^{*}$ $E$ $W$ ${\overrightarrow {v}}\in E$ ${\overrightarrow {v}}\neq {\overrightarrow {0}}$ $A_{1}\in A^{*}$ $A_{2}=A_{1}+{\overrightarrow {v))$ $B_{1}\in B^{*}$ $B_{2}=B_{1}+{\overrightarrow {v))$ $A_{2}\in A^{*}\Rightarrow {\texttt {<}}A_{1},A_{2}{\texttt {>}}\subset A^{*}\Rightarrow F( {\texttt {<}}A_{1},A_{2}{\texttt {>}})=\{A\}$ ${\texttt {<}}A_{1},A_{2}{\texttt {>}}$ ${\texttt {<}}B_{1},B_{2}{\texttt {>}}\Högerpil F({\texttt {<}}B_{1},B_{2}{\texttt { >))))=\{B\}\Rightarrow {\texttt {<}}B_{1},B_{2}{\texttt {>}}\subset B^{*}\Rightarrow {\overrightarrow {v } }\in W\Rightarrow E\subset W$ $E$ $W$ $W\subset E$ $E=W$

åtta). Den surjektiva komponenten av F är en affin kartläggning

Vi sönderdelas i injektiva och surjektiva komponenter . Enligt definitionen av den surjektiva komponenten , där ekvivalensrelationen, definierad som , är projektionen av mängden i faktormängden. Beteckna med det vägledande underrummet för icke-tomma inversa bilder av punkter. Då , som sammanfaller med definitionen av ekvivalensrelationen i konstruktionen av kvotutrymmet för ett affint utrymme, och därför är projektionen en affin mappning. $F$ $F=h\circ g$ $g:S\rightarrow S/\sim$ $\sim$ $A\sim B\Leftrightarrow F(A)=F(B)$ $g$ $W$ $F$ $A\sim B\Leftrightarrow F(A)=F(B)\Leftrightarrow A\in F^{-1}(F(B))\Leftrightarrow A\in B+W\Leftrightarrow AB\in W$ $S/\sim=S/W$ $g$

9). Den injektiva komponenten av F är en semi-affin mappning

Låt vara lite kö . Eftersom är affin är dess förbild vid ett delrum i . Ta två olika punkter och några punkter från deras förbilder. Sedan . I sin tur antingen en linje eller en punkt. Men om det vore en punkt, skulle det motsäga injektivitet , vilket betyder att det är en linje. $L$ $S/W$ $g$ $L^{*}$ $g$ $S$ $A,B\in L$ $A'',B''$ $g({\texttt {<}}A'',B''{\texttt {>}})={\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ $F({\texttt {<}}A'',B''{\texttt {>}})=h(g({\texttt {<}}A'',B''{\texttt { >)))))=h({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})$ $h$

Låt vara några parallella linjer i . På samma sätt som de tidigare beräkningarna tar vi poäng så att . Men de antingen sammanfaller, eller är parallella, eller är punkter. Det första och tredje fallet är mot injektivitet , vilket innebär att de är parallella. ${\displaystyle L_{1},L_{2))$ $S/W$ $A_{1}'',B_{1}'',A_{2}'',B_{2}''\i S$ $g({\texttt {<}}A_{1}'',B_{1}''{\texttt {>}})=L_{1},g({\texttt {<}}A_{ 2}'',B_{2}''{\texttt {>)))=L_{2}$ $F({\texttt {<}}A_{i}'',B_{i}''{\texttt {>}})=h(g({\texttt {<}}A_{i}' ',B_{i}''{\texttt {>)))))=h(L_{i})$ $h$

Om en poäng, så en poäng. Om är en linje, då är det en linje, eftersom den omvandlar linjer till linjer. Så . $S/W$ $F(S)=h(g(S))=h(S/W)$ $S/W$ $F(S)=h(g(S))=h(S/W)$ $h$ $\operatörsnamn {dim} {S/W}\geq 2$

Alla villkor för Lemma 1 är uppfyllda, och är därför en semi-affin mappning. $h$

tio). Grundläggande teorem för affin geometri

All affin mappning är semi-affin, därav semi-affin . Sammansättningen av semi-affina mappningar är semi-affin, och därmed semi-affin. $g$ $F=h\circ g$

Variationer och generaliseringar

Den klassiska fundamentalsatsen för affin geometri är konsekvensen av ovanstående sats för euklidiska rum. Den är formulerad så här:

En bijektiv kartläggning av ett euklidiskt utrymme med dimensionen minst 2 in i sig självt, genom att ta linjer till linjer, är en affin transformation. [5] Detta faktum följer av det faktum att semi-affina mappningar mellan utrymmen över ett fält är affina, eftersom det bara finns en trivial automorfism på.

\mathbb {R}

\mathbb {R}

Ett mer allmänt fall: om kropparna över vilka utrymmena definieras endast har en trivial automorfism, så kan man överallt i formuleringen ersätta termen semi-affin mappning med en affin mappning.
Satsen stämmer också i motsatt riktning, beviset för detta reduceras till egenskapen för halvlinjära avbildningar, som säger att delrum går till ett delrum. Således fastställer satsen ekvivalensen mellan de två definitionerna av en semi-affin mappning.
Om formuleringen dessutom kräver surjektivitet , ändlig dimensionalitet och , liksom sammanträffandet av deras dimensioner, så i det fall att villkoret att bilden av en rät linje är en rät linje eller en punkt kan försvagas till 3 kolinjära punkter gå till 3 kolinjära punkter. [ett] $F$ $S$ $S'$ $K,K'\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

Bevis Lemma. Vilken punkt som helst i ett ändligt dimensionellt affint utrymme över en kropp som skiljer sig från ligger på någon linje som passerar genom icke-gemensamma punkter på någon skärande linje och hyperplan (eller detta är denna skärningspunkt).

{\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}

Bevis. Ta ett hyperplan och en rak linje . Då kan vilken punkt som helst från utrymmet representeras som . På samma sätt som Lemma 2, från beviset för huvudsatsen för affin geometri tar vi , och . ${\texttt {<}}A,A_{1},...,A_{n-1}{\texttt {>}}$ ${\texttt {<}}A,A_{n}{\texttt {>}}$ $X$ $X=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}},B\in {\texttt {<}}A,A_{1},...,A_{n-1}{ \texttt {>}},C\in {\texttt {<}}A,A_{n}{\texttt {>}}$ $k\in K\backslash \{0,1\}$ $B'=A+k^{-1}{\overrightarrow {AB)),C'=A+(1-k)^{-1}{\overrightarrow {AC))$ $X\in {\texttt {<}}B',C'{\texttt {>}}$

Huvudbeviset.

Antag att det finns någon linje , som inte går över i en linje. Men genom tillståndet blir de kolinjära punkterna kolinjära, vilket betyder att det finns någon linje där bilden ligger . Genom antagande finns det en punkt sådan att punkten för dess inversa bild är . Låt oss också ta två olika punkter . Sedan skärs linjerna och , och vid lemma, ligger vilken punkt som helst i planet på någon linje som skär varandra och på olika punkter. . [5] $L$ $L'$ $L$ $C'\in L'$ $C\notin L$ $A,B\in L$ ${\texttt {<}}A,C{\texttt {>}}$ ${\texttt {<}}B,C{\texttt {>}}$ $L_{1}$ $AC$ $före Kristus$ $F(AC),F(BC)\subset L'\Rightarrow F(L_{1})\subset L'\Rightarrow F(X)\in L'\Rightarrow F({\texttt {<)) A,B,C{\texttt {>)))\subset L'$

Dimensionsinduktion: låt bilden av något delrum av dimension ligga i ett delrum av dimension . Låt oss ta en punkt och en poäng av dess omvända bild . Ta en linje som går igenom och korsar . Då ligger vilken punkt som helst i delrummet på någon linje som skär och vid olika punkter och , det vill säga för vilken dimension som helst finns det ett delrum vars bild ligger i ett delrum med lägre dimension, vilket betyder att . Motsägelse. Detta innebär att linjerna övergår i linjer och villkoren för huvudsatsen för affin geometri är uppfyllda. $R$ $k<n$ $R'$ $k-1$ $C'\in S',C'\notin R'$ $C\notin R$ $L_{2}$ $C$ $R$ $X$ ${\texttt {<}}R,C{\texttt {>}}$ $L_{3}$ $L_{2}$ $R$ $F(X)\subset F(L_{3})\subset {\texttt {<}}R',C'{\texttt {>}}$ $k\leq n$ $\operatörsnamn {dim} {S}<\operatörsnamn {dim} {S'}$

Applikation

Grundsatsen om affin geometri gör det möjligt att definiera semi-affina avbildningar utifrån rent geometriska egenskaper. En sådan definition används ofta i axiomatiska teorier, och definitionen som ges i början av artikeln är bevisad som en egenskap. En sådan definition är dock behäftad med vissa svårigheter, som börjar med svårigheten att bevisa likvärdigheten mellan två olika definitioner och slutar med omöjligheten att definiera semi-affina mappningar med en linje eller en punkt som en bild på detta sätt.

Se även

Semi-affin kartläggning
Semilinjär kartläggning

Anteckningar

↑ 1 2 Berger, 1984 , sid. 72.
↑ Lelon-Ferrand, 1989 , sid. 116.
↑ Lelon-Ferrand, 1989 , sid. 113.
↑ Lelon-Ferrand, 1989 , sid. 96.
↑ 1 2 Prasolov, Tikhomirov, 2007 , sid. 57.

Litteratur

Berger M. Geometry / I. Kh. Sabitov; per. från franska Yu. N. Sudarev, A. V. Pajitnov, S. V. Chmutov. - M. , 1984. - T. 1. - 560 sid.
Lelon-Ferrand J. Geometrins grunder / transl. från franska V. V. Ryzhkov. -M., 1989. - 312 sid. —ISBN 5-03-001008-4.
Prasolov V.V. , Tikhomirov V.M. Geometry. - 2:a uppl. - M. , 2007. - 328 sid. — ISBN 978-5-94057-267-1 .