Ett par topologiska utrymmen

Ett par topologiska utrymmen är ett ordnat par där är ett topologiskt utrymme och är ett underrum (med underrumstopologin ). $(X,A)$ $X$ $A$

En parmappning definieras som en mappning sådan att . $f\colon (X,A)\to (Y,B)$ $f\kolon X\till Y$ $f(A)\subset B$

Konceptet med ett topologiskt par är praktiskt för att definiera relativa homologier , för vilka det är precis nödvändigt att bädda in i . För bra utrymmen (till exempel om är ett cellulärt subkomplex av ett cellulärt komplex [1] ), är jämlikheten $H_{k}(X,Y)$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $H_{k}(X,Y)\simeq {\overline {H))(X/Y)=H(X/Y,\varnothing ).$

Egenskaper

Det finns en utrymme-till-par-funktion som mappar ett utrymme till ett par , $X$ $(X,\varnothing )$

Relativa homologier

Med tanke på ett par topologiska utrymmen kan man för varje homologiteori betrakta gruppen av relativa kedjor . Sedan betecknas homologin för det resulterande kedjekomplexet och kallas parets homologi . $(X,Y)$ $C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ $H_{k}(X,Y)$

Konceptet med relativ homologi tillåter oss att konstruera den så kallade långa exakta sekvensen av paret :

… ⟵ H k − ett ( Y ) ⟵ ∂ ∗ H k ( X , Y ) ⟵ H k ( X ) ⟵ H k ( Y ) ⟵ ∂ ∗ H k + ett ( X , Y ) ⟵ … {\displaystyle \ldots \longleftarrow H_{k-1}(Y){\stackrel {\partial _{\ast }}{\longleftarrow }}H_{k}(X,Y)\longleftarrow H_{k}(X )\longleftarrow H_{k}(Y){\stackrel {\partial _{\ast }}{\longleftarrow }}H_{k+1}(X,Y)\longleftarrow \ldots }

\ldots \longleftarrow H_{k-1}(Y){\stackrel {\partial _{\ast }}{\longleftarrow }}H_{k}(X,Y)\longleftarrow H_{k}(X )\longleftarrow H_{k}(Y){\stackrel {\partial _{\ast }}{\longleftarrow }}H_{k+1}(X,Y)\longleftarrow \ldots

Variationer och generaliseringar

Ett relaterat begrepp är begreppet en trippel , där . Trippel används i homotopi teorin . Ofta, för utrymmen med en markerad punkt , skrivs trippeln som , där [2] . $(X,A,B)$ $B\subseteq A\subseteq X$ $x_{0}$ $(X,A,B,x_{0})$ $x_{0}\in B\subseteq A\subseteq X$

Anteckningar

↑ Kazaryan, 2006 , sid. 20-23.
↑ Algebraisk topologi . — Cambridge University Press . - ISBN 0-521-79540-0 .

Litteratur

Spanier E. Algebraisk topologi. — 1971.
MIG. Kazarian. En introduktion till homologiteori . - MIAN, 2006. - (REC föreläsningskurser). — ISBN 5-98419-013-3 .