Periodogram

Ett periodogram  är en uppskattning av den spektrala effektdensiteten (PSD) baserat på beräkning av kvadratmodulen för Fouriertransformen av en datasekvens. Om viktfunktionen ( fönstret ) används i beräkningen av PSD, kallas den erhållna uppskattningen av PSD ett modifierat periodogram [1] . Periodogrammet är inte en konsekvent uppskattning av PSD, eftersom variansen för en sådan uppskattning är jämförbar med kvadraten på dess matematiska förväntan. När antalet använda räkningar ökar, börjar periodogramvärdena fluktuera snabbare och snabbare.

Matematisk beskrivning

Det finns flera definitioner av termen periodogram i litteraturen. En av dem är relaterad till att beräkna medelvärdet av den kvadratiska modulen för Fouriertransformen över ett visst urval av mätningar [2] :

där  är amplituden för Fouriertransformen av funktionen på ett ändligt tidsintervall,  är ändlighetsintervallet,  är den statistiska medelvärdesoperatorn ( förväntning ).

Men i den engelskspråkiga litteraturen [3] och i populära programvaruimplementationer [4] [5] är det som regel helt enkelt kvadraten på amplitudmodulen för Fouriertransformen. Tidsmedelvärde i sådana klassificeringar tilldelas metoderna av Bartlett och Welch [6] .

Historisk information

Termen periodogram nämndes första gången av Arthur Schuster 1898 [8] . Schuster tillämpade periodogrammet för att hitta periodiciteter i register över meteorologiska observationer , register över magnetisk deklination och en serie solfläckar . Han utförde en förbearbetning av månatliga genomsnittliga solfläckar från 1749 till 1894. Periodogramanalys gjorde det möjligt att ge en uppskattning av solfläckscykeln på 11,125 år. Schuster påpekade många svårigheter i samband med beräkningen av periodogrammet och dess karakteristiska egenskaper. Genom att ändra tidens ursprung fick han periodogrammönster med olika oregelbundna förändringar, och dessa periodogram innehöll ibland falska toppar (Schuster kallade dem "slumpmässiga periodiciteter") där det i verkligheten inte fanns någon periodicitet. Schuster visste från sin erfarenhet av den harmoniska analysen av optiska spektra att medelvärdena som erhållits för olika segment av datasekvensen är nödvändig för att jämna ut periodogrammet (att få ett "genomsnittligt periodogram" i hans terminologi) och eliminera falska toppar. Och även om Schuster konstaterade behovet av medelvärde, krävde dess praktiska implementering beräkningsverktyg långt utöver de tekniska möjligheter som fanns tillgängliga vid den tiden. Schuster insåg också att sidolober (som han kallade "falska periodiciteter") runt huvudloberna i ett periodogram är en inneboende egenskap hos alla metoder för Fourier -analys av dataposter med ändlig längd.

Många forskare från början av förra seklet trodde att periodogram beräknade från bullriga data skulle ha betydande fel och inte skulle innehålla några dominerande toppar alls, vilket skulle kunna indikera närvaron av periodiciteter i de analyserade data. Dessutom ansågs detta vara rättvist även när längden på dataposten ökade avsevärt. Exempel på sådana periodogram visas i figuren, som visar att med användning av fler och fler dataprover börjar periodogrammet fluktuera mer och mer. Allt detta ledde till att intresset för periodogram under flera decennier försvagades avsevärt, och detta kan huvudsakligen endast förklaras av det faktum att de flesta forskare försummade det medelvärde som Schuster föreslagit. Slutsky och, något senare , Daniell fastställde oberoende att fluktuationer i ett vitt brusperiodogram har samma storlek som medelvärdet för själva periodogrammet. Dessa fluktuationer visade sig mestadels vara okorrelerade för närliggande frekvenser. Slutsky och Daniell föreslog att periodogramfluktuationer kan minskas genom att medelvärde det över angränsande frekvenser. Denna idé ligger till grund för en av periodogramutjämningsmetoderna.

Se även

Litteratur

Länkar

  1. ↑ Hayes, 2009 , sid. 408-412.
  2. ↑ Marple Jr. S.L., 1990 , sid. 190.
  3. ↑ Hayes, 2009 , sid. 394.
  4. ↑ scipy.signal.periodogram . Hämtad 5 augusti 2019. Arkiverad från originalet 5 augusti 2019.
  5. ↑ periodogram (MathWorks) . Hämtad 5 augusti 2019. Arkiverad från originalet 5 augusti 2019.
  6. ↑ scipy.signal.welch . Hämtad 5 augusti 2019. Arkiverad från originalet 5 augusti 2019.
  7. ↑ Marple Jr. S.L., 1990 , sid. 22.
  8. ↑ Schuster, A., "Om undersökningen av dolda periodiciteter med tillämpning på en förmodad 26 dagars period av meteorologiska fenomen," Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity , 3, 13-41, 1898.