Upprepa gräns

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 november 2014; kontroller kräver 8 redigeringar .

Det är möjligt att tillämpa en gräns för en av variablerna på en funktion av flera variabler med fasta värden för de andra variablerna. Den upprepade gränsen är resultatet av att utföra en sådan operation på varje variabel. $f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ $\ {{x}_{k}}$

Medan gränsen för en funktion beräknas eftersom alla argument tenderar till sina gränser samtidigt, erhålls den upprepade gränsen som ett resultat av en serie på varandra följande gränsövergångar för varje argument separat.

Definition

Betrakta en funktion av två variabler definierade i någon punkterad omgivning av punkten . Tänk på gränsen för varje fast värde på variabeln : $f\vänster(x,y\höger)$ $\left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$ $x$

\varphi \left(x\right)={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim} }}\,f\left(x,y\right )

Vi antar att det finns och är definierat för varje värde på . Resultatet är en funktion av en variabel. Tänk nu på gränsen : $\varphi \left(x\right)$ $x$ $\varphi \left(x\right)$

A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,\varphi \left(x\right)

Om denna gräns finns, så säger vi att det finns en upprepad gräns för funktionen vid punkten . $A$ $f\vänster(x,y\höger)$ $\left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$

A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {y\to {{y}_{0}}} {\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)

På samma sätt kan vi först fixa en variabel och ta en gräns för variabeln . I det här fallet får vi också en upprepad gräns, men generellt sett en annan: $y$ $x$

B={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {x\to {{x}_{0}}} {\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)

Denna definition kan också utvidgas till funktioner av flera variabler . $f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}\right)$

Likhet mellan upprepade gränser

Låt funktionen definieras i en punkterad omgivning av punkten . Om det finns en (ändlig eller inte) dubbel gräns $f(x,y)$ $(a,b)$

\lim \limits _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=A

och om det för någon av punktens punkterade områden finns en ändlig gräns i $y$ $a$ $x$

\varphi (y)=\lim _{x\to a}f(x,y)

då finns det en iterativ gräns

$\lim _{y\to b}\varphi (y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)$

och lika med dubbelt.

Se även

Funktionsgräns

Litteratur

Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitel 14. Funktioner av flera variabler // Fundamentals of Mathematical Analysis. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 648 sid. — (Kurs i högre matematik och matematisk fysik). - 5000 exemplar. - ISBN 5-9221-0536-1 .
Fikhtengolts, G.M. Kapitel 5. Flera variablers funktioner // Förlopp för differential- och integralkalkyl. Volym 1. - M. , 1962. - T. 1. - 608 sid. — (Differential- och integralkalkylens kurs i 3 volymer).