Gheesweet sekvens

Gijswits sekvens är en sekvens som börjar med

1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, … (sekvens A090822 i OEIS ).

Sekvensen är uppkallad av OEIS-skaparen Neil Sloan efter D. Gijswijt. Denna sekvens är främst intressant på grund av dess långsamma tillväxthastighet: siffran 4 inträffar först vid position 220, och siffran 5 inträffar nära position 10 10 23 [1] .

Beskrivning

Låt oss representera medlemmarna i sekvensen som bokstäver i alfabetet, representerade av naturliga siffror. Den första medlemmen i sekvensen är 1. Varje efterföljande medlem är det största antalet så att strängen som bildas genom sammanlänkning av alla tidigare medlemmar ("bokstäver") kan representeras som (dvs. ), där och är strängar, och har en icke- noll längd. Flersiffriga nummer i en sekvens ska tas som nummer, inte som deras individuella siffror. Det vill säga, till exempel kommer siffran 10 att användas som hela tecknet "10", och inte som "1" och "0". $k$ ${\displaystyle XY^{k))$ ${\displaystyle X\underbrace {YYY\dots Y} _{k))$ $X$ $Y$ $Y$

Exempel på sekvensgenerering:

Vid den första iterationen är den första termen 1
Vi representerar strängen "1" som "1" 1 , nästa medlem är 1
Vi representerar strängen "11" som "1" 2 , nästa medlem är 2
Vi representerar strängen "112" som "112" 1 , nästa medlem är 1
Vi representerar strängen "11211" som "112""1" 2 , nästa medlem är 2
Vi representerar strängen "112112" som "112" 2 , nästa medlem är 2
Vi representerar strängen "1121122" som "11211""2" 2 , nästa medlem är 2
Vi representerar strängen "11211222" som "112112""2" 3 , nästa medlem är 3
Vi representerar strängen "112112223" som "112112223" 1 , nästa medlem är 1

etc.

Egenskaper

Det finns begränsad forskning om Ghiiswit-sekvensen. På grund av detta är det fortfarande lite studerat, och många frågor om det förblir öppna. .

Tillväxttakt

Med tanke på att siffran 5 inte visas i sekvensen förrän ungefär 10 10 23 :e positionen, är det osannolikt att använda "brute force"-metoden att hitta nummer större än 4. Det har dock bevisats att varje naturligt tal förekommer i sekvensen [2 ] . Den exakta tillväxttakten är inte känd, men det finns ett antagande att för första gången dyker ett naturligt tal upp i sekvensen vid position [3] . $n$ ${\displaystyle 2^{2^{3^{4^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n-1))))))))))$

Genomsnittlig

Även om det har bevisats att alla naturliga tal förekommer i en sekvens, har det föreslagits att sekvensen kan ha ett medelvärde. Formellt är hypotesen :

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}G(i)<\infty$

var är den:e medlemmen i Gijswit-sekvensen. $G(n)$ $n$

Frekvensen av förekomsten av ett naturligt tal i sekvensen är också okänd.

Rekursiv struktur

Sekvensen kan delas upp i diskreta sekvenser - "block" och "lim" - som kan användas för att rekursivt skapa sekvensen .

Först definierar vi och som de första sekvenserna av "block" respektive "lim". De bildar de första termerna i sekvensen: $B_{1}=1$ $S_{1}=2$

$B_{1}B_{1}S_{1}=1,1,2$ .

Därefter definierar du rekursivt . Sedan kommer strängen "lim" att ta formen . Nu är den genererade sekvensen: ${\displaystyle B_{2}=B_{1}B_{1}S_{1))$ $S_{2}=2,3,3$

$B_{2}B_{2}S_{2}=1,1,2,1,1,2,2,2,3$ .

Observera att vi inte definierade "lim"-strängen rekursivt, utan tilldelade den ett specifikt värde som vi får från definitionen av Gijswit-sekvensen. $S_{2}$

Således kan vi definiera en formel för "block": . "Lim"-linjerna erhålls genom att slutföra sekvensen per definition, tills vi når 1. ${\displaystyle B_{n+1}=B_{n}B_{n}S_{n))$ $S_{n}$

Se även

Anteckningar

↑ Sloane, NJA (red.). Sekvens A090822 . Online Encyclopedia of Integer Sequences . Stiftelsen OEIS. Hämtad 15 augusti 2018. Arkiverad från originalet 16 augusti 2018. (obestämd)
↑ DC Gijswijt. En långsamt växande sekvens definierad av ett ovanligt återkommande . arXiv.org (2006). Hämtad 15 augusti 2018. Arkiverad från originalet 16 augusti 2018. (obestämd)
↑ Neil Sloane. Seven Staggering Sequences 3. Hämtad 15 augusti 2018. Arkiverad från originalet 28 juni 2018. (obestämd)