Seminorm

Semi -norm eller pre -norm är en generalisering av normbegreppet ; i motsats till det senare kan seminormen försvinna på element som inte är noll i rummet.

Definition

En seminorm är en icke-negativ funktion , i ett linjärt utrymme över fältet av reella eller komplexa tal , som uppfyller följande villkor: $p\kolon L \to\R$ $L$

Absolut enhetlighet : för alla skalärer $p(\alpha x)=|\alpha|p(x)$ $\alfa$
Triangel Ojämlikhet : För alla $p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)$ $x, y \i L$

Utrymmet kallas ett semi-normerat utrymme. ${(L,\;p)}$

Egenskaper

$p(0)=0$

Denna egenskap följer av det första definitions- och likhetsvillkoret , här tillhör den första nollan fältet för reella eller komplexa tal, och den andra och tredje tillhör utrymmet :

0_{\R} \cdot 0_L = 0_L

L

p(0_L)=p(0_\R \cdot 0_L) = |0_\R| \cdot p(0_L) = 0_\R

(där följer av linjäritet )

0_L = 0_\R\cdot 0_L

L

$p(x)=p(-x)$

Denna egendom erhålls också från första villkoret vid .

\alfa = -1

$p(x) \geqslant 0$

Om vi antar att det finns ett sådant , så följer det av definitionens första villkor att och . Med det andra villkoret får vi en motsägelse med den första egenskapen.

x^{*}

p(x^*) < 0

p(-x^*) < 0

p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) < 0

Litteratur

Rudin W. Funktionsanalys, övers. från engelska, - M. , 1975.