Beläggning

En täckning är en kontinuerlig surjektiv kartläggning av ett väganslutet utrymme på ett väganslutet utrymme så att vilken punkt som helst har en grannskap vars hela omvända bild är föreningen av parvis osammanhängande områden : $p:X\till Y$ $X$ $Y$ $y\i Y$ $U\delmängd Y$ $p^{{-1}}(U)$ $V_{k}\delmängd X$

p^{{-1}}(U)=V_{1}\cup V_{2}\cup \dots

Dessutom är kartläggningen på varje domän en homeomorfism mellan och . $V_{k}$ $p:\,V_{k}\till U$ $V_{k}$ $U$

Formell definition

En kartläggning av ett väganslutet utrymme på ett väganslutet utrymme kallas en täckning om någon punkt har en stadsdel för vilken det finns en homeomorfism , där är ett diskret utrymme så att om betecknar en naturlig projektion, då $p:X\till Y$ $X$ $Y$ $y\i Y$ $U\delmängd Y$ $h:p^{-1}(U)\till U\ gånger \Gamma$ $\Gamma$ $\pi:U\ gånger \Gamma\till U$

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

Relaterade definitioner

Utrymmet kallas täckningens bas och täckningens utrymme (eller täckningsutrymmet ). $Y$ $X$
Den omvända bilden av en punkt kallas lagret över punkten . $p^{{-1}}(y)$ $y\i Y$ $y$
Antalet områden i hela förbilden kallas antalet ark . $V_{k}$ $p^{{-1}}(U)$
- Om detta nummer är ändligt och lika med , då beläggningen kallas
-sheeted . $n$ $n$

Ett skydd kallas universellt om det för något annat skydd finns ett skydd som .

p\colon {\tilde {Y}}\to Y

q\colon X\to Y

s\colon {\tilde {Y}}\to X

p=q\circ s

Exempel

Låt beteckna enhetscirkeln för det komplexa planet . $S^{1}$ $S^{1}=\{z\in {{\mathbb C}||z|=1}\}$
- $p:{{\mathbb R}}\to S^{1}$ , . $p:x\mapsto e^{{2\pi ix}}$
- $p:S^{1}\till S^{1}$ , , var , . $p:z\mapsto z^{k}$ $k\neq 0$ $k\in {{\mathbb Z}}$

Egenskaper

Beläggningar är lokala homeomorfismer
Omslag är ett specialfall av lokalt triviala buntar . De kan betraktas som lokalt triviala fibrationer med en diskret fiber.
Alla dubbelbeklädnader är vanliga.
Universalöverdraget är regelbundet.

Anslutning till den grundläggande gruppen

Täckningen betraktas vanligtvis under antagandet att u är ansluten och även lokalt enkelt ansluten . Under dessa antaganden upprättas ett samband mellan de grundläggande grupperna och : om , då den inducerade homomorfismen , mappar isomorphically till en undergrupp i och, ändra punkten i , kan man få exakt alla undergrupper från någon klass av konjugerade undergrupper. $X$ $Y$ $Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p(x_{0})=y_{0}$ $p:\pi _{1}(X,x_{0})\till \pi _{1}(Y,y_{0})$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $x_{0}$ $p^{{-1}}(y_{0})$

Om denna klass består av en undergrupp (det vill säga en normaldelare ) kallas täckningen regelbunden . I det här fallet uppstår en fri handling av gruppen på , och det visar sig vara en faktor som kartlägger utrymmet för banor . I allmänhet är fria handlingar från diskreta grupper den vanliga källan till regelbundna täckningar (över omloppsutrymmet, även om inte varje sådan åtgärd definierar en täckning, kan omloppsutrymmet visa sig vara oskiljaktigt), men detta är sant för ändliga grupper. Denna åtgärd genereras genom att höja loopar: om en loop , , är associerad med en unik väg för vilken och , så kommer punkten endast att bero på klassen för denna loop i och på punkten . Således motsvarar ett element från en permutation av punkter i . Denna permutation har inga fasta punkter och beror kontinuerligt på punkten . Detta definierar en homeomorfism som pendlar med . $H$ $H$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})/H$ $X$ $sid$ $Y$ $q:[0,1]\till Y$ $q(0)=q(1)=y_{0}$ ${\tilde q}:[0,1]\till X$ ${\tilde q}(0)=x_{0}$ $p{\tilde q}=q$ ${\tilde q}(1)$ $G$ $x_{0}$ $G$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $y_0$ $X$ $sid$

I det allmänna fallet definierar denna konstruktion endast en permutation i , det vill säga det finns en åtgärd på , som kallas monodromi av täckningen . Ett specialfall av ett vanligt skydd är det universalhölje för vilket eller motsvarande X helt enkelt ansluts. $p^{{-1}}(y_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})$

I allmänhet, för varje grupp , är en täckning unikt konstruerad som det finns en bild för . $H\subset \pi _{1}(Y,y_{0})$ $p:X\till Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $H$

För all mappning av ett vägkopplat utrymme till ett lyft till en mappning finns om och endast om bilden ligger i . Det finns en partiell ordningsrelation mellan beläggningar (en täckning av en täckning är en täckning), vilket är dubbelt med inkluderingen av undergrupper i . I synnerhet är den universella täckningen det enda maximala elementet. $f$ $(Z,z_{0})$ $(Y,y_{0})$ ${\tilde f}:(Z,z_{0})\till (X,x_{0})$ $f(\pi _{1}(Z,z_{0}))$ $H$ $Y$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$

Litteratur

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri. Metoder och tillämpningar. — M.: Nauka, 1986.
Boltyansky VG , Efremovich VA Visuell topologi . - M .: Nauka, 1982. - (Bibliotek "Quantum", nummer 21).