Eisenstein-serien

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 april 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Eisenstein-serier , uppkallade efter den tyske matematikern Ferdinand Eisenstein , är speciella enkla exempel på modulära former som ges som summan av en explicit skriven serie.

Definition

Eisensteins viktserie ${\displaystyle G_{2k))$ $2k$ är en funktion som definieras på det övre halvplanet och ges som summan av serien $\{Im(\tau )>0\}\subset \mathbb {C}$

G_{2k}(\tau )=\summa _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k))}.

Denna serie konvergerar absolut till en holomorf funktion av variabeln . $\tau$

Egenskaper

Modularitet

Eisenstein-serien definierar viktens modulära form : för alla heltal med vi har $2k$ $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ $ad-bc=1$

G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d))\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).

Detta följer av det faktum att Eisenstein-serien kan representeras som en funktion av gittret som genereras av 1 och τ , och utökar det till hela utrymmet av gitter: $\Gamma =\langle 1,\tau \rangle$

G_{2k}(\Gamma )=\summa _{z\in \Gamma \setminus \{0\}}z^{-2k}.

Då motsvarar modularitetsrelationen att gå från bas till bas av samma gitter (vilket inte ändrar värdet på ) och normalisera det andra elementet i den nya basen med 1. $G_{2k}(\lambda \Gamma )=\lambda ^{-2k}G_{2k}(\Gamma ).$ $\{\tau ,1\}$ $\{a\tau +b,c\tau +d\}$ $G_{2k}(\Gamma )$

Representation av modulära former

Dessutom, som det visar sig, uttrycks varje modulär form (av godtycklig vikt ) som ett polynom i och : $2m$ ${\displaystyle G_{4))$ ${\displaystyle G_{6))$

f=\sum _{4k+6l=2m}a_{k}G_{4}^{k}G_{6}^{l}.

Förbindelse med elliptiska kurvor

$\wp$ -Weierstrass-funktionen hos en elliptisk kurva expanderar till en Laurent-serie vid noll som $E=\mathbb {C} /\Gamma$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+ 2 }(\Gamma )z^{2k}.

I synnerhet är de modulära invarianterna för kurvan E

g_{2}=60G_{4},\quad g_{3}=140G_{6}.

Litteratur

A. Weil, Elliptiska funktioner enligt Eisenstein och Kronecker , ( Springer-Verlag , Berlin, Heidelberg, New York 1976), översatt från engelska. Yu. I. Manina, M .: "Mir", 1978:
Serre J.-P., En kurs i aritmetik. M.: Mir, 1972.
Kubota T. Elementär teori för Eisenstein-serien. - M. , Nauka , 1986. - 136 sid.