Sadelnodsbifurkation

I teorin om dynamiska system är en sadelnod-bifurkation en lokal bifurkation där ett par singulära punkter ( stabila och instabila ) smälter samman till en semi-stabil singularispunkt (sadelnod), för att sedan försvinna. Den enda bifurkationen som förekommer i typiska enparameterfamiljer av vektorfält på linjen på ett icke-borttagbart sätt (dvs. är en typisk bifurkation av kodimension 1 ).

Normal form

animation

Betrakta ett vektorfält på en linje som har en singulär punkt. Om en singulär punkt är icke- degenererad ( derivatan av vektorfältet vid den skiljer sig från 0), genom den implicita funktionssatsen , bevaras den under små störningar och ingen bifurkation inträffar. Således, det enklaste fallet, intressant ur bifurkationsteorin: den första derivatan är lika med noll. Typiskt är den andra derivatan icke-noll. Om vi expanderar vektorfältet till en Taylor-serie och ändrar koordinatsystemet vid behov, kan vi anta att koefficienten vid är lika med -1. I det här fallet har vektorfältet formen: $x^{2}$

{\dot {x}}=-x^{2}+o(x^{2}).\quad \quad (1)

Eftersom singularpunkten är degenererad är vektorfältet (1) inte strukturellt stabilt : en godtyckligt liten störning kan förstöra singularpunkten eller "dela" den i två. Det visar sig att varje icke-degenererad liten störning av detta vektorfält i närheten av singularpunkten 0 är (topologiskt) ekvivalent med enparameterfamiljen

{\dot {x}}=\varepsilon -x^{2}\quad \quad (2)

Med andra ord kommer denna familj att vara en versal deformation för ekvation (1). Familj (2) är en normal form av en sadel-nod-bifurkation.

Bifurkationsscenario

Tänk på familjen (2). Tre fall är möjliga:

För har vektorfältet två singulära punkter: . En av dem ( ) är stabil, den andra ( ) är instabil. $\varepsilon >0$ $x=\pm {\sqrt {\varepsilon ))$ $x=+{\sqrt {\varepsilon ))$ $x=-{\sqrt {\varepsilon ))$
För har vektorfältet en unik semistabel ickehyperbolisk singularpunkt 0. $\varepsilon=0$
För har vektorfältet inga singulära punkter. $\varepsilon <0$

Således kan en sadel-nod-bifurkation beskrivas som processen för födelsen av en halvstabil singular punkt och dess efterföljande sönderfall till en stabil och instabil, eller vice versa, som en process av sammanslagning av en stabil och instabil singular. peka in i en halvstabil med dess efterföljande försvinnande.

Om vi betraktar ett tvådimensionellt fasutrymme och lägger till ekvation (2) kommer ekvationen , för , singularpunkten att vara en stabil nod , och singularpunkten kommer att vara en sadel . Genom att slås samman vid , bildar de en singulär punkt med ett noll och ett icke-noll egenvärde , det vill säga en sadelnod . Detta förklarar namnet på bifurkationen. ${\dot {y}}=-y$ $\varepsilon >0$ $({\sqrt {\varepsilon )),0)$ $(-{\sqrt {\varepsilon )),0)$ $\varepsilon=0$

Litteratur

D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Käk. Normala former och bifurkationer av vektorfält på planet. - M. : MTSNMO, 2005. - 416 sid. — ISBN 5-94057-206-5 .