Slumpmässig process

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En slumpmässig process (probabilistisk process, slumpmässig funktion, stokastisk process) i sannolikhetsteorin är en familj av slumpvariabler indexerade av någon parameter , som oftast spelar rollen som tid eller koordinat .

Definition

Låt vara ett mätbart utrymme , en uppsättning värden för parametern . En parameterfunktion vars värden är slumpmässiga variabler på utrymmet för elementära händelser i fasutrymmet kallas en slumpmässig process i fasutrymmet . [ett] $(E,{\mathfrak {B}})$ $T$ $t$ $\xi =\xi (t)$ $t\i T$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$

Terminologi

Klassificeringen och terminologin som används inom forskning och tillämpad tillämpning av slumpmässiga processer är inte strikta. I synnerhet används termen "slumpmässig process" ofta som en ovillkorlig synonym för termen "slumpmässig funktion". [2] Beroende på typen av uppsättning används ofta följande termer. $T$

Om så kan parametern tolkas som tid . Då kallas slumpfunktionen en slumpmässig process . Om mängden är diskret, till exempel , kallas en sådan slumpmässig process en slumpmässig sekvens . $T\subset \mathbb {R}$ $t\i T$ $\{X_{t}\}$ $T$ $T\subset {\mathbb {N}}$

Om , där , då kan parametern tolkas som en punkt i rymden, och då kallas den slumpmässiga funktionen för ett slumpmässigt fält . $T\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $n\geqslant 1$ $t\i T$

Grundläggande information

Alla möjliga gemensamma sannolikhetsfördelningar av värden : $\xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}\in T$

P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\left\{\xi (t_{1}) \i B_{1},...,\xi (t_{n})\i B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\i {\mathfrak {B} })

kallas finitdimensionella sannolikhetsfördelningar av en slumpmässig process . Slumpmässiga processer och att ta värden i fasutrymmet kallas ekvivalenta om för något motsvarande värden och är ekvivalenta . $\xi =\xi (t)$
$\xi =\xi (t)$ $\eta =\eta (t)$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $t\i T$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $\eta (t)=\eta (\omega ,t)$

För varje fast parameter funktion med värden i fasutrymmet kallas implementeringen eller banan för en slumpmässig process . En slumpmässig process kallas direkt specificerad om varje elementärt resultat beskrivs av en motsvarande bana i det funktionella rummet för alla funktioner på uppsättningen med värden i fasutrymmet ; mer exakt, om och — algebra genereras av alla möjliga cylindriska uppsättningar , där och , och värdena har formen , . Vilken slumpmässig process som helst kan associeras med en direkt given slumpmässig process med samma ändliga dimensionella fördelningar. För varje konsekvent familj av ändliga-dimensionella sannolikhetsfördelningar ( sådana att , är täta mått i det fastopologiska rymden ), finns det en direkt given slumpmässig process med samma ändliga-dimensionella sannolikhetsfördelningar. $\omega \i \Omega$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $t$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ $x=x(t)$ $E=E^{T}$ $T$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\Omega =X$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${x(t_{1})\i B_{1},...,x(t_{n})\i B_{n))$ $t_{1},...,t_{n}\in T$ $B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B)))$ $\xi (t)=\xi (x,t)$ $\xi (x,t)=x(t)$ $x\in X$ $P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})$ $t_{1},...,t_{n}\in T,B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B))$ $P_{t}=P_{t}(B),t\in T$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\xi =\xi (t)$

kovariansfunktion . Låt en verklig eller komplex slumpmässig process på uppsättningen ha andra ögonblick: . Värdena för en slumpmässig process kan betraktas som delar av Hilbert-utrymmet - utrymmet för alla slumpmässiga variabler , , med den skalära produkten $\xi =\xi (t)$ $T$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $\xi =\xi (t)$ $L^{2}(\Omega )$ $\eta$ $E|\eta (t)|^{2}<\infty$

({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}

De viktigaste egenskaperna hos en sådan slumpmässig process är dess matematiska förväntningar $\xi (t)$

A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)

och kovariansfunktion

B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))=(\xi (s),\xi (t))

Istället för kovariansfunktionen kan korrelationsfunktionen användas , vilket är kovariansfunktionen för processen med noll matematisk förväntan. Om argumenten ( ) är lika, är korrelationsfunktionen lika med variansen för den slumpmässiga processen $B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))-A(s){\overline {A(t)))$ $\xi (t)-A(t)$
$s=t$

B(s,s)=E(\xi (s)-A(s))({\overline {\xi (s)-A(s))))=D(s)

En funktion av två variabler och är en kovariansfunktion av någon slumpmässig process , , om och endast om den uppfyller följande positiva definititetsvillkor för alla: $B(s,t)$ $s$ $t$ $\xi (t)$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $n=1,2,...$

\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k)){\overline {c_ {j}}}\geqslant 0

för alla komplexa tal . $t_{1},t_{2},...t_{n}\in T$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}...,c_{n))$

Klassificering

En slumpmässig process kallas en process som är diskret i tid , om systemet som det flödar i ändrar sina tillstånd endast ibland , vars antal är ändligt eller räknebart. En slumpmässig process kallas en kontinuerlig tidsprocess om övergången från tillstånd till tillstånd kan ske när som helst. $X(t)$ $\;t_{1},t_{2},\ldots$
En slumpmässig process kallas en process med kontinuerliga tillstånd om värdet av den slumpmässiga processen är en kontinuerlig slumpmässig variabel. En slumpmässig process kallas en slumpmässig process med diskreta tillstånd om värdet av den slumpmässiga processen är en diskret slumpmässig variabel:
En slumpmässig process kallas stationär om alla flerdimensionella distributionslagar bara beror på den relativa positionen för tiderna , men inte på värdena för dessa storheter i sig. Med andra ord kallas en slumpmässig process stationär om dess probabilistiska mönster är oförändrade i tiden. Annars kallas det icke-stationär . $\;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$
En slumpmässig funktion kallas stationär i vid mening , om dess matematiska förväntan och varians är konstant, och ACF beror endast på skillnaden i tidpunkter för vilka ordinaterna för den slumpmässiga funktionen tas. Konceptet introducerades av A. Ya. Khinchin .
En slumpmässig process kallas en process med stationära inkrement av en viss ordning, om de probabilistiska mönstren för ett sådant inkrement är oförändrade i tiden. Sådana processer övervägdes av Yaglom [3] .
Om ordinaterna för en slumpmässig funktion följer normalfördelningslagen , så kallas själva funktionen normal .
Slumpmässiga funktioner, vars ordnatafördelningslag vid ett framtida tidsögonblick bestäms helt av värdet på processens ordinatan vid nuvarande tidpunkt och inte beror på värdena på processens ordinata vid tidigare tidpunkter, kallas Markov .
En slumpmässig process kallas en process med oberoende steg om för någon uppsättning , där , a , de slumpmässiga variablerna , , , är ömsesidigt oberoende. $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ $n>2$ $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ $(X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}})$ $(X_{{t_{3}}}-X_{{t_{2}}})$ $\ldots$ $(X_{{t_{n}}}}-X_{{t_{{n-1}}}})$
Om, när man bestämmer momentfunktionerna för en stationär slumpmässig process, operationen av medelvärdesberäkning över en statistisk ensemble kan ersättas med medelvärdesberäkning över tid, så kallas en sådan stationär slumpmässig process ergodisk .
Bland slumpmässiga processer urskiljs impulsslumpmässiga processer .
En förgrenad slumpmässig process kan beskriva fenomen förknippade med reproduktion, delning eller transformation av objekt.

Exempel

$\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ , där kallas en standard Gaussisk (normal) slumpmässig sekvens. $\;X_{i}\sim {\mathrm {N}}(0,1)$
Låt , och vara en slumpvariabel. Sedan $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $Y$

X_{t}(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )

är en slumpmässig process.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V., Rozanov Yu. A. Sannolikhetsteori (Grundläggande begrepp. Limit-satser. Slumpmässiga processer) - M .: Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, Nauka Publishing House, 1973. - 496 sidor.
↑ Slumpmässig funktion . www.booksite.ru _ Hämtad: 20 augusti 2021. (obestämd)
↑ Yaglom A. M. Korrelationsteori för processer med slumpmässiga stationära parametriska inkrement // Matematisk samling. T. 37. Fråga. 1. S. 141-197. — 1955.

Litteratur

Sveshnikov AA Tillämpade metoder för teorin om slumpmässiga funktioner. - Chefredaktör för fysisk och matematisk litteratur, 1968.
Baskakov S.I. Radio/tekniska kretsar och signaler. - Högre skola, 2000.
Natan A. A. , Gorbatsjov O. G., Guz S. A. Grunderna i teorin om slumpmässiga processer : lärobok. manual på kursen "Slumpmässiga processer" - M .: MZ Press - MIPT, 2003. - 168 sid. ISBN 5-94073-055-8 .
Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Teori om slumpmässiga processer och dess tekniska tillämpningar. - M. : Nauka, 1991. - 384 sid. — ISBN 5-02-014125-9 .
Kulikov EI Metoder för att mäta slumpmässiga processer. - M . : Radio och kommunikation, 1986. - 272 sid.
Ralph dec. Icke-linjära transformationer av slumpmässiga processer. - M . : Sovjetisk radio, 19656. - 206 sid.

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNE : XX4576445 BNF : 119326416 GND : 4057630-9 J9U : 987007536303605171 LCCN : sh85128181 NDL : 00564752 NKC : ph116285