Stokastisk matris

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En stokastisk matris i sannolikhetsteorin är en icke-negativ matris där summan av elementen i valfri rad eller kolumn är lika med ett.

Definitioner

En matris kallas höger stokastisk (eller helt enkelt stokastisk) om $P=(P_{{ij}}),\;i,j=1,2,\ldots$

P_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots

och .

\sum \limits _{{j=1}}^{{\infty }}P_{{ij}}=1,\quad \forall i

En matris kallas vänster stokastisk om

P_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots

och .

\sum \limits _{{i=1}}^{{\infty }}P_{{ij}}=1,\quad \forall j

En matris kallas dubbelstokastisk om den är vänster- och högerstokastisk.

Notera

Den högra stokastiska matrisen är övergångssannolikhetsmatrisen för någon Markov-kedja .

Egenskaper

Om och är två vänster (höger, två gånger) stokastiska matriser, så är deras produkt också en vänster (höger, två gånger) stokastisk matris. $P$ $F$ $R=PQ$

Regelbunden stokastisk matris

En ändlig stokastisk matris kallas regelbunden om det finns en sådan $P=(P_{{ij}}),\;i,j=1,\ldots ,N$ $n\in \mathbb {N}$

p_{{ij}}^{{(n)}}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N

var finns elementen i matrisens th potens , dvs. $p_{{ij}}^{{(n)}}$ $n$ $P$ $P^{n}=\left(p_{{ij}}^{{(n)}}\höger)$

Ergodisk teorem

Om är en vanlig stokastisk matris, så finns det en vektor sådan att $P$ ${\mathbf {\pi }}=(\pi _{1},\ldots,\pi _{N})$

P^{n}\to {\mathbf {1}}^{{\top }}{\mathbf {\pi }}

där är en dimensionsvektor , bestående av enheter . ${\mathbf {1}}=(1,\ldots ,1)$ $1\ gånger N$