Underdifferential

Subdifferentialen för en funktion f definierad på ett Banach-utrymme E är ett sätt att generalisera begreppet en derivata till godtyckliga funktioner. Även om man använder det måste man offra det unika med mappningen (värdena för subdifferentialen i det allmänna fallet är uppsättningar, inte enskilda punkter), visar det sig vara ganska bekvämt: vilken konvex funktion som helst visar sig vara subdifferentierad på hela definitionsområdet. I de fall då inget är känt i förväg om en funktions differentierbarhet visar det sig vara en betydande fördel.

Dessutom är subdifferentialen (med ganska svaga begränsningar av funktionen) i många avseenden lik den vanliga derivatan i sina egenskaper. Speciellt för en differentierbar funktion sammanfaller de, men för en icke-differentierbar funktion visar det sig att det så att säga är en "uppsättning möjliga derivator" vid en given punkt. Värdena för subdifferentialen är konvexa delmängder av det dubbla utrymmet E *.

Definition

Subdifferentialen för en konvex funktion i en punkt är mängden som består av alla linjära funktionaler som uppfyller alla olikheter $\partial f(x_{0})$ $f\colon E\rightarrow \mathbb {R}$ ${\displaystyle x_{0))$ $p\in E^{*}$ $x\in E$

p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})

En funktion kallas subdifferentierbar vid en punkt om mängden inte är tom. $f(x)$ $x_{0}$ $\partial f(x_{0})$

Vektorn som hör till subdifferentialen kallas subgradienten för funktionen i punkten . $p\in E^{*}$ $\partial f(x_{0})$ $f(x)$ $x_0$

Egenskaper

$\partial f(x_{0})$ är en konvex (eventuellt tom) inställd $E^{*}$

Låt f 1 (x), f 2 (x) vara konvexa finita funktioner, och en av dem är kontinuerlig i punkten x, , sedan $\lambda \geq 0$

$\partial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\partial \left(f_{1}(x)\right)+\partial \left(f_{ 2}(x)\höger)$ , summan förstås i betydelsen av Minkowski summan .

$\partial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \partial f_{1}(x)$

Om en funktion är konvex och kontinuerlig i en punkt , är den subdifferentierar vid denna punkt , det vill säga, och dess subdifferential är en kompakt och konvex mängd $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $x\in E$ $x\in E$ $\partial f(x)\neq \varnothing$ $\partial f(x)$

Låt funktionen vara konvex och finit. I det här fallet är funktionen Gateaux differentierbar vid en punkt om och endast om dess subdifferential vid denna punkt består av en enda vektor $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $f(x)$ $x_{0}\in E$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})=\left\{{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x))\right\))$

En funktion har ett lokalt minimum vid en punkt om och endast om 0 tillhör subdifferentialen vid den punkten.

Om en sekvens av konvexa funktioner konvergerar punktvis till en konvex funktion , så hör för varje konvergent sekvens dess gräns till subdifferentialen . $f_n$ $f$ $p_{n}\in \partial _{x_{0}}f_{n}$ ${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }p_{n))$ $\partial _{x_{0}}f$

Länkar

Polovinkin E. S., Balashov M. V. Element av konvex och starkt konvex analys. - M. : Fizmatlit, 2004. - 416 s - ISBN 5-9221-0499-3 .
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6 .