Maclaurin sfäroid

En Maclaurin sfäroid är en oblate sfäroid som uppstår när en självgraviterande vätskekropp med en enhetlig densitetsfördelning roterar med en konstant vinkelhastighet. Sfäroiden är uppkallad efter den skotske matematikern Colin Maclaurin , som föreslog denna form av jorden 1742 [1] . Faktum är att jorden är mycket mindre tillplattad, eftersom den inte är homogen och har en tät järnkärna. Maclaurin-sfäroiden anses vara den enklaste modellen av en ellipsoidal rotationsfigur i jämvikt, eftersom den har en konstant densitet.

Maclaurins formel

För en oblate sfäroid med en större halvaxel och en mindre halvaxel, ges vinkelhastigheten av Maclaurin-formeln $a$ $c$ $\Omega$

{\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}} (3-2e^{2})\arcsin e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},

där är excentriciteten för meridionalsektionen av sfäroiden, är densiteten, är gravitationskonstanten . Formeln förutsäger två möjliga typer av jämviktsfigurer vid , en av dem är en sfär ( ), den andra är en platt sfäroid ( ). $e$ $\rho$ $G$ $\Omega \rightarrow 0$ $e\rightarrow 0$ $e\rightarrow 1$

Den maximala vinkelhastigheten inträffar vid excentricitet , värdet på kvadraten på den maximala vinkelhastigheten är lika med , det vill säga över denna hastighet existerar inte jämviktssiffran. Detta motsäger observationsdata. Anledningen till motsägelsen kan vara närvaron av två orealistiska antaganden: det ena är att densitetsfördelningen är enhetlig, den andra är att formen på ytan är en enkel kvadratisk . $e=0{,}92995$ $\Omega ^{2}=0{,}449331\pi G\rho$

Vinkelmomentet för en Maclaurin sfäroid ges av $L$

{\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a))))}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac { a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,

där är sfäroidens massa, är medelradien, det vill säga radien för en sfär med samma volym som sfäroiden. I ett enklare uttryck [3] ${\displaystyle M={\frac {4\pi }{3}}\rho a^{3}{\sqrt {1-e^{2))))$ ${\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}$

L={\frac {2}{5}}M\Omega a^{2}.

Kinetisk energi hos sfäroiden [3]

K={\frac {1}{5}}M\Omega ^{2}a^{2}.

Hållbarhet

För en Maclaurin sfäroid med en excentricitet på mer än 0,812670 [3] har Jacobi triaxial ellipsoid med samma rörelsemängd en lägre total energi. Om en sådan ellipsoid består av en trögflytande vätska och inte upplever störningar som kan bryta rotationssymmetrin, då kommer den att sträcka sig ut och ta formen av en Jacobi-ellipsoid, medan en del av energin går över i en termisk form. För en liknande sfäroid från en inviscid vätska kommer störningar att leda till odämpade svängningar.

Maclaurin-sfäroiden med en excentricitet på mer än 0,952887 [3] är dynamiskt instabil. Även om föremålet består av en inviscid vätska och inte förlorar energi, kommer små störningar att växa exponentiellt. Dynamisk instabilitet innebär sekulär instabilitet [4] .

Anteckningar

↑ Maclaurin C. A Treatise of Fluxions: In Two Books. 1. Vol. 1. Ruddimans, 1742.
↑ Chandrasekhar S. Ellipsoidal jämviktsfigurer. Vol. 10. New Haven: Yale University Press, 1969.
↑ 1 2 3 4 Poisson E., Will C. Gravity : Newtonsk, Post-Newtonsk, Relativistisk . - Cambridge University Press , 2014. - S. 102-104. — ISBN 1139952390 . Arkiverad 23 oktober 2017 på Wayback Machine
↑ Lyttleton RA Stabiliteten hos roterande flytande massor . - Cambridge University Press , 1953. - ISBN 9781316529911 .