Carathéodory-Toeplitz teorem

Carathéodory-Toeplitz-satsen är en sats inom matematisk analys uppkallad efter matematikerna Constantin Carathéodory och Otto Toeplitz :

Låt vara enhetscirkeln i det komplexa planet $\Delta :=\{z\,:\,|z|<1\}$ $\mathbb {C} .$

Mängden av alla funktioner med en positiv reell del och en normalisering som kartlägger en cirkel till det högra halvplanet kallas Carathéodory-klassen och betecknas med $h(z)$ $\Delta$ $h(0)=1,$ $\Delta$ $C.$

Carathéodory och Toeplitz löste problemet med exakt beskrivning av värdeuppsättningen av koefficientsystemet var på klassen $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),$ $n\in \mathbb {N} ,$ $C.$

Värdeuppsättningen för koefficientsystemet på klassen är en sluten konvex avgränsad uppsättning punkter av -dimensionellt komplext euklidiskt utrymme för vilket determinanterna $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),$ $n\in {\mathbb N}$ $C$ $K_n$ $n$ ${\mathbb C}^{n}$

\det {\{a_{ij}\}_{i,j=0}^{k)),\qquad 1\leqslant k\leqslant n,

var

a_{ii}=2,\qquad a_{ij}=\{h\}_{ji},\quad j>i,\qquad a_{ji}={\overline {a_{ij))} ,\quadj<i,

antingen är alla positiva eller är positiva upp till något tal, med början från vilket de är lika med noll. Det senare fallet motsvarar det faktum att punkten tillhör gränsen för koefficientkroppen Varje gränspunkt i denna kropp motsvarar endast en funktion av klassen, som har formen av en konvex linjär kombination $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n})$ ${\displaystyle \partial K_{n))$ $K_{n}.$ $C,$

h^{(k)}(z)=\summa _{\nu =1}^{k}\alpha _{\nu }{\frac {1+e^{i\varphi _{\nu }}z}{1-e^{i\,\varphi _{\nu }}z}}

med koefficienter och och för $\alpha _{\nu },$ $1\leqslant k\leqslant n$ ${\displaystyle \varphi _{\nu }\neq \varphi _{\mu ))$ $\mu \neq \nu ,$ $\mu ,\nu =1,\ldots ,n.$

Se även

Carathéodory-Fejer-satsen .

Litteratur

Carathéodory C. Über die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion Rendiconti Circ. Matta. di~Palermo. 1911. V.~32. P. ~193-217.
Töplitz O. Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen Rendiconti. Circ. Matta. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~191-192.