Kolmogorovs tvåseriesats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 augusti 2017; verifiering kräver 1 redigering .

Kolmogorovs tvåseriesats i sannolikhetsteorin ställer ett tillräckligt villkor för konvergens med sannolikhet en av en serie oberoende stokastiska variabler . Kolmogorovs tvåseriesats kan användas för att bevisa den starka lagen om stora tal .

För att en serie oberoende slumpvariabler ska konvergera med sannolikhet ett räcker det att två serier konvergerar samtidigt: och . Om dessutom , så är detta villkor också nödvändigt. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$ ${\displaystyle \sum D\xi _{n))$ $\sum P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1$

Bevis

Om , då konvergerar enligt Kolmogorov-Khinchins konvergenssats . Men genom antagande konvergerar serien, så serien konvergerar också . $\sum D\xi _{n}<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ ${\displaystyle M\xi _{n))$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

För att bevisa nödvändigheten använder vi följande metod för "symmetrisering". Tillsammans med sekvensen, överväga en sekvens av slumpvariabler oberoende av den som har samma fördelning som . $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\xi _{1}^{'},\xi _{2}^{'}...$ $\xi _{n}^{'}$ $\xi _{n},n\geqslant 1$

Sedan, om serien konvergerar , då konvergerar serien , och därav serien . Men också . Därför, enligt Kolmogorov-Khinchins konvergenssats . ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $\sum \xi _{n}^{'}$ $\sum (\xi _{n}-\xi _{n}^{'})$ $M(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})=0$ $P(|\xi _{n}-\xi _{n}^{'}|\leqslant 2c)=1$ $\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$

Nästa . Därför, enligt Kolmogorov-Khinchins konvergenssats , konvergerar serien med sannolikhet ett , och följaktligen konvergerar serien också . $\sum D\xi _{n}={\frac {1}{2}}\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$

Så från konvergensen av serien (under antagandet följer att både serier och konvergerar. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1)$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$ ${\displaystyle \sum D\xi _{n))$

Litteratur

Shiryaev A. N. Sannolikhet. - 3:e uppl., reviderad. och ytterligare .. - M . : MTSNMO , 2004. (4 kap. 2 § 1 §)