Plancherels sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 juli 2019; kontroller kräver 4 redigeringar .

Plancherels sats är ett uttalande om Fouriertransformens egenskaper . Den hävdar att för varje funktion vars kvadratmodul är integrerbar, finns det och är unikt bestämt upp till värden på en uppsättning mått noll en funktion som är dess Fourier-transform. Det bevisades av Plancherel 1910 [1] . Spelar en viktig roll i funktionsanalys.

Formulering

För varje funktion av en reell variabel , som hör till den uppsättning funktioner vars kvadratmodul är integrerbar på intervallet , finns det en funktion av den reella variabeln , som också hör till intervallet , så att $f(x)$ $L^{2}$ $\left(-\infty ,\infty \right)$ $g(x)$ $L^{2}$ $\left(-\infty ,\infty \right)$

\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi } }}\int \limits _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx\right|^{2}du=0

Ekvationer gäller också:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)\right|^{2}du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ vänster|f(x)\höger|^{2}dx

och

\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi } }}\int \limits _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du\right|^{2}dx=0

Funktionen , som är Fourier-transformen av funktionen , är unikt definierad upp till dess värden på en uppsättning mått noll [2] . $g(u)$ $f(x)$

Se även

Anteckningar

↑ Plancherel, Michel & Mittag-Leffler (1910), Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les intégrales définies , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo vol. 30 (1): 289–33710 , DOI 100 10 . BF03014877
↑ N. Wiener , R. Paley Fourier transformerar i den komplexa domänen. - M., Nauka, 1964. - sid. 10-11

Litteratur

C. Bochner Föreläsningar om Fourierintegraler. - M., Fizmatlit, 1962. - 360 sid.