Paley–Wieners sats

Paley-Wiener-satsen är uppsättningen av alla funktioner av exponentiell typ , för vilken den sammanfaller med uppsättningen funktioner som medger representation , där . $F Z)$ $\leq \sigma$ $\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}dx<\infty$ $F Z)$ $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\sigma }^{+\sigma }e^{izu}\phi (u)du$ $\phi (u)\in L^{2}(-\sigma ,+\sigma )$

Förklaringar

En hel funktion av exponentiell typ är en hel funktion som, för alla, uppfyller en olikhet av formen , där talen A, B inte är beroende av z. Den exponentiella typen av en funktion är den minsta nedre gränsen för värdena på konstanten B som denna olikhet gäller. Den exponentiella typen hittas av formeln . Under förstå uppsättningen av alla mätbara i intervallfunktionerna , vars kvadrat av modulen är integrerbar i betydelsen Lebesgue . $F Z)$ $z$ $|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$ $F Z)$ $\sigma ={\bar {\lim _{|z|\to \infty ))}{\frac {ln|f(z)|}{|z|}}$ $L^{2}(-\sigma ,+\sigma )$ $(-\sigma ,+\sigma )$

Paley-Wiener-Schwartz-satsen för generaliserade funktioner

Om en generaliserad funktion är koncentrerad till regionen är dess Fouriertransform en hel analytisk funktion av 1:a ordningen av tillväxt och typ . Omvänt, låt vara en hel analytisk funktion av 1: a ordningen av tillväxt och typ , som ökar för inte snabbare än någon grad av , och vara den funktionella som motsvarar denna funktion i utrymmet . Sedan koncentreras Fouriertransformen av det funktionella till domänen . $F$ $G_{b}:|x|\leq b$ $\leq b$ $f(z)=f(z_{1},...z_{n})$ $\leq b$ $|x|\to \infty$ ${\displaystyle |x|^{q))$ $(f,\phi )=\int f(x)\phi (x)dx$ $Z$ ${\hat {f))$ $f$ ${\displaystyle G_{b))$

Se även

Litteratur

Norbert Wiener "Jag är matematiker", M., 1964, 356 sidor, skjutbana. 50 000 exemplar, B 48 51 (09) UDC 510 (092), kap. 8 Hemma igen 1932-1933, sid. 160-168;
Viner N. , Paley R. "Fourier transform in the complex doain", M., Nauka, 1964;
N. I. Akhiezer "Föreläsningar om tillnärmningsteori", red. 2:a, M., Nauka, 1965, 517.2 A 95 UDC 517.51, kap. 4 "Några extrema egenskaper hos hela funktioner av exponentiell typ", s. 82 "Wiener-Paleys teorem", sid. 179-82;
"Funktionell analys", red. 2, ed. S.G. Kerin , kap. 10 "Generaliserade funktioner", punkt 4 "Fourier-transform av generaliserade funktioner", punkt 7 "Paley-Wiener-Schwartz-teorem", s. 511;