Sochocki-Weierstrass teorem

Sochocki-Weierstrass- satsen är en komplex analyssats som beskriver beteendet hos en holomorf funktion i närheten av en väsentlig singularpunkt.

Den säger att varje analytisk funktion med ett värde i varje grannskap av en väsentligen singulär punkt tar värden godtyckligt nära ett godtyckligt förtilldelat komplext tal [1] .

Historik

Den publicerades av Yu. V. Sokhotsky 1868 i hans magisteravhandling [K 1] ; det bevisade att "i en pol av oändlig ordning" (så här kallades den väsentligen singulara punkten) funktionen "bör ta alla möjliga värden" (i detta arbete förstods värdet av funktionen vid denna punkt som gränsvärdet längs sekvensen av punkter som konvergerar till den) [2] .

Samtidigt med Sokhotsky publicerade den italienske matematikern F. Casorati ett teorem om tätheten av bilden av en punkterad grannskap av en väsentlig singular punkt i sitt arbete "Theory of functions of complex variables" [K 2] . Weierstrass publicerade denna sats först 1876 i sitt arbete "On theory of single-valued analytic functions" [K 3] [3] . För första gången möts den av de franska matematikerna Ch. Briot och J.C. Bouquet i deras arbete med teorin om elliptiska funktioner [K 4] [1] .

Ingenstans försvarade Sokhotsky sin prioritet över detta och hans andra resultat som tillskrivits andra [2] ; i litteratur på europeiska språk är satsen känd som Casorati–Weierstrass sats .

Formulering

Oavsett vilket, i vilket område som helst av en väsentlig singularpunkt i funktionen finns det åtminstone en punkt där värdet på funktionen skiljer sig från ett godtyckligt givet komplext tal B med mindre än . $\varepsilon >0$ $z_{0}$ $F Z)$ $z_{1}$ $F Z)$ $\varepsilon$

Bevis

Antag att satsen är falsk, d.v.s.

\exists B\in \mathbb {C} \qquad \exists \varepsilon >0\qquad \exists \eta _{0}>0:\qquad \forall z:|z-z_{0}|<\ eta_{0}

|f(z)-B|>\varepsilon

Låt oss överväga en hjälpfunktion . I kraft av vårt antagande är funktionen definierad och avgränsad i ett område av punkten . Därav är en borttagbar singular punkt [4] . Detta innebär att expansionen av funktionen i närheten av punkten har formen: $\psi (z)={\frac {1}{f(z)-B))$ $\psi (z)$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $\psi (z)$ $\psi (z)$ $z_{0}$

\psi (z)=(z-z_{0})^{m}{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)\qquad {\stackrel {\sim }{\varphi }} (z)\neq 0

Sedan, i kraft av definitionen av funktionen , sker följande expansion av funktionen i den givna grannskapet av punkten : $\psi (z)$ $z_{0}$ $F Z)$

f(z)=(z-z_{0})^{-m}\varphi (z)+B

där den analytiska funktionen är avgränsad i punktens -grannskap . Men en sådan expansion innebär att punkten är en pol eller en regelbunden punkt för funktionen , och expansionen av den senare i en Laurent-serie måste innehålla ett ändligt antal termer, vilket motsäger satsens villkor. $\varphi (z)={\frac {1}{{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)))$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $F Z)$

■

På motsvarande sätt kan denna sats omformuleras enligt följande:

Om en punkt i huvudsak är singular för en funktion som är analytisk i någon punkterad omgivning , så kan man för ett godtyckligt komplext tal hitta en sekvens som konvergerar till vilken . $z_{0}$ $F Z)$ ${\displaystyle U=\{z:\,0<|z-z_{0}|<\varepsilon \))$ $w$ $\{z_{n}\}\subset U$ $z_{0}$ $\{f(z_{n})\}\to w$
uppsättningen värden för en holomorf funktion i ett godtyckligt litet punkterat område av dess väsentliga singulära punkt är överallt tät i . $\mathbb {C}$

Generaliseringar

Sochockis sats är generaliserad av Picards stora sats , som säger att en analytisk funktion i ett område med en väsentligen singulär punkt antar alla värden utom kanske ett värde.

Kommentarer

↑ Teori om integralrester med vissa tillämpningar. - St Petersburg. , 1868.
↑ Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavia, 1868.
↑ Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, B. - P. 77-124.
↑ C. Briot, I. Bukett. Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiska. — 1859.

Länkar

↑ 1 2 Sokhotsky-Weierstrass sats // Great Soviet Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ 1 2 B. V. Shabat. Fördelning av värden för holomorfa mappningar . - M. : Nauka, Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1982. Arkiverad 5 mars 2016 på Wayback Machine Arkiverad kopia (otillgänglig länk) . Hämtad 15 november 2011. Arkiverad från originalet 5 mars 2016. (obestämd) .
↑ I. M. Vinogradov. Sokhotsky-satsen // Matematisk uppslagsverk. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985. .
↑ Detta faktum bevisas med hjälp av den stora uppskattningen av expansionen av en funktion i en Laurent-serie.

Litteratur

Evgrafov M. A. Analytiska funktioner. — M .: Nauka . — 1968, 448 sidor.
Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka . - 1969, 577 sidor.