Schwartz andraderivatasats

Schwartz andraderivatasats fastställer tillräckliga villkor för funktionens linearitet . Används i teorin om trigonometriska serier.

Formulering

Om en funktion är kontinuerlig i något intervall och för alla värden i detta intervall, så finns det en linjär funktion. $F(x)$ $(a,b)$ $\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) + F(xh) - 2F(x)}{h^{2}} = 0$ $x$ $F(x)$

Bevis

Uttrycket till vänster i satsens tillstånd kallas den generaliserade andraderivatan av funktionen . Om den har en vanlig andraderivata, är den generaliserade andraderivatan lika med den och det finns inget att bevisa. Låt oss överväga en funktion . Uppenbarligen , och För att bevisa satsen visar vi att för alla värden på . Låt oss anta att det kräver positiva värden. Låt någon gång . Låt oss introducera en funktion , där är ett litet positivt tal så att . Funktionen har en positiv övre gräns och når den, på grund av sin kontinuitet, någon gång . Uppenbarligen . Men även för , den högra sidan tenderar att . En motsägelse har erhållits. Antagandet som tar negativa värden leder till en liknande motsägelse . Därför, för alla värden av och är en linjär funktion. $F(x)$ $F(x)$ $\phi(x)=F(x)-F(a)-\frac{xa}{ba}(F(b)-F(a))$ $\phi(a)=0$ $\phi(b)=0$ $\phi(x)=0$ $x$ $\phi(x)$ $\phi(c) > 0$ $c$ $\psi(x) = \phi(x) - \frac{1}{2}\epsilon(xa)(bx)$ $\epsilon$ $\psi(x) > 0$ $\psi(x)$ $x = \xi$ $\psi(\xi + h) + \psi(\xi - h) - 2 \psi(\xi) \leqslant 0$ $\frac{\psi(\xi + h) + \psi(\xi - h) - 2 \psi(\xi)}{h^2} = \frac{F(\xi + h) + F(\xi) - h) - 2 F(\xi)}{h^2} + \epsilon$ $h\högerpil 0$ $\epsilon$ $\phi(x)$ $\phi(x) = 0$ $x$ $F(x)$

Litteratur

E. Titchmarsh Theory of Functions, Moskva, Nauka, 1980.