Hermit-Bielers sats

Hermite-Bieler-satsen är ett uttalande av komplex analys som bestämmer nödvändiga och tillräckliga villkor för stabiliteten hos ett polynom . Det är ett specialfall av Chebotarevs teorem .

Formulering

Ett polynom är stabilt om och endast om polynomens rötter och är interfolierade och för minst en . För ett polynom med reella koefficienter är denna olikhet ekvivalent med olikheten . $f$ $g$ $h$ $\omega_{0}$ $g(\omega _{0})h^{'}(\omega _{0})-g^{'}(\omega _{0})h(\omega _{0})>0$ $f$ $a_{n-1}a_{n}>0$

Förklaringar

Här är polynomet vid , talen är godtyckliga komplexa tal . Ett polynom kallas stabilt om de reella delarna av alla dess rötter är negativa. Funktionerna och definieras enligt följande. Genom att ersätta i ett polynom istället för ett rent imaginärt tal får vi ett komplext tal . Rötterna till polynom och med reella koefficienter växlar om båda polynomen endast har reella och enkla rötter och mellan två intilliggande rötter av ett polynom finns en och bara en rot av det andra polynomet. ${\displaystyle f=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_{n))$ $a_{0}>0$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},...a_{n))$ $f$ $g$ $h$ $f$ $z$ $i\omega$ $f(i\omega )=g(\omega )+ih(\omega )$ $g$ $h$

Litteratur

Postnikov M. M. Stable polynomials, M., Nauka, 1981, 176 sidor.