Densitetspunktsats

Densitetspunktsatsen är ett resultat av måttteori , vilket intuitivt kan förstås som att mängden "gränspunkter" för en mätbar mängd har måttet noll.

Formulering

Beteckna med Lebesgue-måttet på det euklidiska rummet . Låt vara en mätbar uppsättning. För en godtycklig punkt och överväga värdet $\lambda$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$ $\varepsilon >0$

d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))))

där betecknar en boll med centrum vid och radie . Värdet kan tolkas som den ungefärliga densiteten för mängden vid punkten . $B_{\varepsilon }(x)$ $x$ $\varepsilon$ $d_{\varepsilon }(x)$ $A$ $x$

Sedan

d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)

finns och är lika med 1 för nästan varje punkt . $x\i A$

Anteckningar

Värdet , om det definieras, kallas densiteten för mängden vid punkten . $d(x)$ $A$ $x$
Med andra ord, satsen säger att densiteten för varje mätbar mängd tar värdet 0 eller 1 nästan överallt i . $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Om en mängd och dess komplement har ett positivt mått, kommer det alltid att finnas punkter med densitet varken 0 eller 1.

Exempel

Till exempel, givet en kvadrat i planet, är densiteten vid varje punkt inuti kvadraten 1, på sidorna 1/2, vid hörnen 1/4 och 0 utanför kvadraten; gränser och hörn har måttet noll.

Variationer och generaliseringar

Densitetspunktsatsen är ett specialfall av Lebesgues differentieringssats .

Litteratur

Natanson IP Teori om funktioner för en reell variabel. - M. , 1974.