Sturms jämförelsesats

Sturms jämförelsesats är ett klassiskt teorem som ger ett kriterium för icke- svängning av lösningar av några linjära differentialekvationer .

Uppkallad efter Jacques Charles François Sturm . [1] En utökad version av satsen nedan erhölls av Mauro Picone . [2]

Formulering

Låt p i , q i i = 1, 2 , vara reellt värderade kontinuerliga funktioner på intervallet [ a , b ] och låt

$(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0$
$(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0$

är två homogena andra ordningens linjära differentialekvationer i självadjoint form med

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)

och

q_{2}(x)\geq q_{1}(x).

Låt u vara en icke-trivial lösning av (1) med successiva rötter i z 1 och z 2 , och låt v vara en icke-trivial lösning av (2). Då gäller en av följande egenskaper:

Det finns x i ( z 1 , z 2 ) så att v ( x ) = 0; eller
Lösningarna u och v är proportionella; det vill säga det finns ett λ i R så att v ( x ) = λ u ( x ) .

Se även

Rauchs jämförelsesats är ett grundläggande resultat av Riemannsk geometri som erhållits genom att tillämpa Sturms jämförelsesats.

Anteckningar

↑ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second order, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
↑ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Pisa 11 (1909), 1–141.