Luddigt set

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 september 2022; verifiering kräver 1 redigering .

A fuzzy set (ibland fuzzy [1] , dimmigt [2] , fluffy [3] ) är ett begrepp som introducerades av Lotfi Zadeh 1965 i artikeln "Fuzzy Sets" i tidskriften Information and Control [4] , i som han utökade det klassiska konceptet med en uppsättning , antar att den karakteristiska funktionen för en uppsättning (av Zade kallad medlemskapsfunktionen för en fuzzy uppsättning) kan ta vilka värden som helst i intervallet , och inte bara värdena eller . Det är det grundläggande konceptet för fuzzy logic . $[0, 1]$ $0$ $ett$

Föråldrat namn: vag uppsättning [5] [6] ,

Definition

En fuzzy uppsättning är en uppsättning ordnade par som består av delar av en universell uppsättning och motsvarande grad av medlemskap : $A$ $x$ $X$ $\mu _{A}(x)$

A=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\i X\}

dessutom är en medlemskapsfunktion (en generalisering av begreppet den karakteristiska funktionen för vanliga skarpa uppsättningar), som indikerar i vilken utsträckning (mät) ett element tillhör en fuzzy uppsättning . Funktionen tar värden i någon linjärt ordnad uppsättning . En uppsättning kallas en uppsättning tillbehör , ofta väljs ett segment som ett segment . Om (det vill säga den består av bara två element), så kan den fuzzy uppsättningen betraktas som en vanlig skarp uppsättning. $\mu _{A}(x)$ $x$ $A$ $\mu _{A}(x)\$ $M$ $M$ $M$ $[0, 1]$ $M=\{0,1\}\$

Grundläggande definitioner

Låt ett luddigt set med element från universalsetet och en uppsättning tillbehör . Sedan: $A$ $X\$ $M=[0,1]$

bäraren ( stödet ) för ett fuzzy set är setet ; $\operatorname {supp} A$ $\{x\mid x\in X,\mu _{A}(x)>0\}$
värdet kallas höjden på den luddiga uppsättningen . Ett fuzzy set är normalt om dess höjd är . Om höjden är strikt mindre än , kallas fuzzy set subnormal ; $\sup _{{x\in X}}\mu _{A}(x)$ $A\$ $A\$ $ett\$ $ett\$
fuzzy set är tomt om . En icke-tom subnormal fuzzy uppsättning kan normaliseras med formeln $\forall x\in X:\mu _{A}(x)=0$ $\mu '_{A}(x)={\frac {\mu _{A}(x)}{\sup \mu _{A}(x)))$ ;
fuzzy set är unimodal om bara på en av ; $\mu _{A}(x)=1\$ $x\$ $X\$
element för vilka kallas transition points of the fuzzy set . $x\i X$ $\mu _{A}(x)=0{,}5$ $A\$

Jämförelse av fuzzy set

Låt och vara fuzzy set definierade på universalsetet . $A$ $B$ $X$

$A$ ingår i , om för något element från funktionen av dess medlemskap i uppsättningen kommer att ta ett värde mindre än eller lika med medlemskapsfunktionen för uppsättningen : $B$ $X$ $A$ $B$ $A\subset B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ .
Om villkoret inte är uppfyllt för alla talar vi om graden av inkludering av fuzzy set i , som definieras enligt följande: $\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ $x\i X$ $A$ $B$ $l\left(A\subset B\right)=\min _{x\in T}\mu _{B}(x)$ , var . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x),\mu _{A}(x)>0\))$
Två uppsättningar sägs vara lika om de finns i varandra: $A=B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$ .
Om medlemskapets värden fungerar och nästan är lika med varandra, talar man om graden av jämlikhet hos fuzzy sets och t.ex. $\mu _{A}(x)$ $\mu _{B}(x)$ $A$ $B$ $E(A=B)=1-\max _{x\in T}|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|$ , var . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\))$

Egenskaper för fuzzy sets

$\alfa$ -slice of fuzzy set , betecknad som , är följande tydliga set: $A\subseteq X$ $A_{\alpha}$

{\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \))

det vill säga uppsättningen som definieras av följande karakteristiska funktion (medlemsfunktion):

\chi _{A_{\alpha }}(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&\mu _{A}(x)<\alpha ,\\1,&\mu _{A}(x)\geqslant \alpha .\end{matris}}\right.

För en -del av en suddig uppsättning är följande implikation sann: $\alfa$

\alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}

En fuzzy uppsättning är konvex om och endast om följande villkor är uppfyllt: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\land \mu _{ A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

för alla och . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \in [0,1]$

En fuzzy set är konkav om och endast om följande villkor är uppfyllt: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\lor \mu _{ A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

för alla och . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \in [0,1]$

Operationer på fuzzy set

Med många tillbehör $M=[0,1]\$

Skärningspunkten mellan fuzzy uppsättningar är en fuzzy delmängd med en medlemskapsfunktion som är ett minimum av medlemskapsfunktioner och : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cap B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
Produkten av fuzzy set är en fuzzy delmängd med en medlemsfunktion: $A$ $B$ $\mu _{AB}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$ .
Unionen av fuzzy uppsättningar är en fuzzy delmängd med en medlemskapsfunktion som är det maximala av medlemsfunktionerna och : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cup B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
Summan av fuzzy set är en fuzzy subset med en medlemskapsfunktion: $A$ $B$ $\mu _{A+B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\ -\mu _{A}(x)\mu _{B }(x)$ .
Negationen av en uppsättning är en uppsättning med en medlemskapsfunktion: $A\$ $\överlinje A$ $\mu _{\overline {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)$ för alla . $x\i X$

En alternativ representation av operationer på fuzzy sets

Korsning

I allmänhet definieras driften av korsningen av fuzzy sets enligt följande:

\mu _{A\cap B}(x)=T(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

där funktionen är den så kallade T-normen . Nedan finns särskilda exempel på implementeringen av T-normen : $T$

$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\land \mu _{B}(x)=\min(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$
${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\max\{0,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-1\))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=1\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=1\\0,&\mu _{A}(x)<1,\mu _{B}(x)<1 ,\end{matris}}\right.$
$\mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu _{ B}(x))^{p}]^{1 \över p}\}$ , för $p\geqslant 1$

Konsolidering

I det allmänna fallet definieras operationen med att kombinera fuzzy set enligt följande:

\mu _{A\cup B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

där funktionen är T-konormen för . Nedan finns särskilda exempel på implementeringen av S-normen : $S$

$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)\lor \mu _{B}(x)=\max(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\mu _{B }(x)$
${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\))$
$\mu _{A\cup B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=0\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=0\\1,&\mu _{A}(x)>0,\mu _{B}(x)>0 \end{matris}}\right.$
$\mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x) ]^{1 \över p}\}$ , för $p\geqslant 1$

Samband med sannolikhetsteori

Teorin om luddiga mängder reduceras i viss mening till teorin om slumpmässiga mängder och därmed till sannolikhetsteorin . Huvudtanken är att värdet av medlemskapsfunktionen kan ses som sannolikheten att ett element täcks av någon slumpmässig mängd . $\mu _{A}(x)\$ $x\$ $B\$

Men i praktisk tillämpning används apparaten för fuzzy set theory vanligtvis oberoende, och fungerar som en konkurrent till apparaten för sannolikhetsteorin och tillämpad statistik . Till exempel, i kontrollteori finns det en riktning i vilken fuzzy set (fuzzy controllers) används istället för metoder för sannolikhetsteori för att syntetisera expertkontroller .

Exempel

Låta:

mycket av $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$
många tillbehör $M=[0,1]$
$A$ och är två otydliga delmängder $B$ $X$
- $A=\{(x_{1}\miden 0{,}4),(x_{2}\midden 0{,}6),(x_{3}\midden 0),(x_{4}\midden 1 )\}$
- $B=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2 )\}$

Resultat av huvudoperationerna:

genomskärning: ${A\cap B}=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}={B}$
En förening: ${A\cup B}=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{ 4}\mid 1)\}={A}$

Anteckningar

↑ Bulletin för vetenskapsakademin i den georgiska SSR . - Akademin, 1974. - S. 157. - 786 sid. Arkiverad 4 april 2017 på Wayback Machine
↑ Kozlova Natalya Nikolaevna. Färgbild av världen i språk // Uchenye zapiski Zabaikal'skogo gosudarstvennogo universiteta. Serie: Filologi, historia, orientaliska studier. - 2010. - Utgåva. 3 . — ISSN 2308-8753 . Arkiverad från originalet den 4 april 2017.
↑ Kemi och liv, XXI-talet . - Företag "Chemistry and Life", 2008. - S. 37. - 472 sid. Arkiverad 4 april 2017 på Wayback Machine
↑ Lotfi A. Zadeh Fundamentals of a new approach to analysen av komplexa system och beslutsprocesser (översatt från engelska av V. A. Gorelik, S. A. Orlovsky, N. I. Ringo) // Mathematics Today. - M., Kunskap, 1974. - sid. 5-48
↑ Leonenkov A. V. Fuzzy modellering i MATLAB- och fuzzyTECH-miljön. St Petersburg: BKhV�Peterbur, 2005. 736 s.: ill. ISBN 5.94157.087.2
↑ A.M. Shirokov. Grunderna i förvärvsteorin . - Vetenskap och teknik, 1987. - S. 66. - 190 sid. Arkiverad 18 april 2021 på Wayback Machine

Litteratur

Zadeh L. Begreppet en språklig variabel och dess tillämpning för att fatta ungefärliga beslut. - M . : Mir, 1976. - 166 sid.
Orlov AI Optimeringsproblemoch otydliga variabler . - M .: Kunskap, 1980. - 64 sid.
Kofman A. Introduktion till teorin om fuzzy sets. - M . : Radio och kommunikation, 1982. - 432 sid.
Luddiga uppsättningar och möjlighetsteori: Senaste framsteg / R. R. Yager. - M . : Radio och kommunikation, 1986.
Zadeh LA Fuzzy set // Information och kontroll. - 1965. - T. 8 , nr 3 . - s. 338-353.
Orlovsky SA Beslutsfattande problem med otydlig initial information. — M .: Nauka, 1981. — 208 sid. - 7600 exemplar.
Orlov A. I. , Lutsenko E. V. System fuzzy interval mathematics. — Monografi (vetenskaplig upplaga). - Krasnodar, KubGAU. 2014. - 600 sid. [ett]