Trilinjär interpolation

Trilinjär interpolation är en metod för multidimensionell interpolation i tredimensionell euklidisk rymd. Linjärt approximerar funktionsvärdet vid punkten med hjälp av kända värden vid de omgivande punkterna. $f$ $(x,y,z)$

Trilinjär interpolation används ofta i numerisk analys och datorgrafik .

Jämförelse med linjär och bilinjär interpolation

Trilinjär interpolation är en förlängning av linjär interpolation som verkar i rymden med dimension , och bilinjär interpolation som verkar i rymden med dimension , till dimensionens rymd . För att interpolera funktionsvärdena vid punkten måste du känna till värdena vid 8 angränsande punkter som omger . $D=1$ $D=2$ $D=3$ $(x,y,z)$ $f$ $(x,y,z)$

Real funktionsinterpolation

Anta att du vill interpolera värdet på en funktion vid punkten . Låt värdena för funktionen vid omgivande punkter ges , där , , , och , , . Genom att sekventiellt utföra linjär interpolation för varje mätning kan du få följande formel: $f$ $(x,y,z)$ $f$ $(x_{i},y_{j},z_{k})$ $i=1,2$ $j=1,2$ $k=1,2$ $x_{1}<x<x_{2}$ $å_{1}<y<y_{2}$ $z_{1}<z<z_{2}$

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx {\frac {f(x_{1},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_ {1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z_{2}- z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1 })(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f( x_{2},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1}) }}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{1 })}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y- y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1 })(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z-z_{1}) .\end{aligned}}

I synnerhet i enhetskuben ( ): $x_{1}=y_{1}=z_{1}=0,\quad x_{2}=y_{2}=z_{2}=1$

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx f(0,0,0)\cdot (1-x)(1-y)(1-z)+\\&+ f(0,0,1)\cdot (1-x)(1-y)z+\\&+f(0,1,0)\cdot (1-x)y(1-z)+\\& +f(0,1,1)\cdot (1-x)yz+\\&+f(1,0,0)\cdot x(1-y)(1-z)+\\&+f(1 ,0,1)\cdot x(1-y)z+\\&+f(1,1,0)\cdot xy(1-z)+\\&+f(1,1,1)\cdot xyz .\end{aligned}}