Triangulär matris

En triangulär matris är en kvadratisk matris i linjär algebra , där alla element under (eller över) huvuddiagonalen är lika med noll.

Grundläggande definitioner

En övre triangulär matris (eller en övre triangulär matris ) är en kvadratisk matris där alla element under huvuddiagonalen är lika med noll: vid [1] [2] $A$ $a_{ij}=0$ $i>j$

En lägre triangulär matris (eller lägre triangulär matris ) är en kvadratisk matris där alla poster ovanför huvuddiagonalen är lika med noll: vid [1] [2] . $A$ $a_{ij}=0$ $i<j$

En entriangulär matris (övre eller nedre) är en triangulär matris där alla element på huvuddiagonalen är lika med ett: [3] . $A$ $a_{jj}=1$

En diagonal matris är både övre triangulär och nedre triangulär [4] .

Applikation

Triangulära matriser används främst för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer (SLAE). Till exempel är den Gaussiska metoden för att lösa SLAE baserad på följande resultat [5] :

vilken matris som helst genom elementära transformationer över rader och permutationer av rader kan reduceras till en triangulär form. $A_{{n\ gånger n}}$

Således reduceras lösningen av den ursprungliga SLAE till att lösa ett system av linjära ekvationer med en triangulär matris av koefficienter, vilket inte är svårt.

Det finns en variant av denna metod (kallad det kompakta Gaussiska schemat) baserat på följande resultat [6] :

vilken kvadratisk matris som helst med ledande minor som inte är noll kan representeras som en produkt av en nedre triangulär matris och en övre :triangulär matris är entriangulär; $A$ $L$ $U$ $A=LU$ $L$
alla icke degenererade kvadratiska matriser kan representeras i följande form : $A$ $PA=LU$ $P$

Egenskaper

Determinanten för en triangulär matris är lika med produkten av elementen i dess huvuddiagonal [7] (i synnerhet determinanten för en entriangulär matris är lika med en).
Mängden icke- degenererade övre triangulära matriser av ordningen n genom multiplikation med element från fältet k bildar en grupp [4] , som betecknas med UT ( n , k ) eller UT n ( k ).
Mängden icke-degenererade lägre triangulära matriser av ordningen n genom multiplikation med element från fältet k bildar en grupp [4] , som betecknas med LT ( n , k ) eller LT n ( k ).
Uppsättningen av övre entriangulära matriser med element från fältet k bildar en undergrupp av UTn ( k ) genom multiplikation, som betecknas SUT ( n , k ) eller SUTn ( k ) . En liknande undergrupp av lägre entriangulära matriser betecknas SLT ( n , k ) eller SLT n ( k ).
Uppsättningen av alla övre triangulära matriser med element från den associativa ringen k bildar en algebra med avseende på operationer av addition, multiplikation med ringelement och matrismultiplikation. Ett liknande uttalande gäller för lägre triangulära matriser.
Gruppen UT n är lösbar , och dess entriangulära undergrupp SUT n är nilpotent .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Voevodin och Kuznetsov, 1984 , sid. 27.
↑ 1 2 Ikramov, 1991 , sid. 9-10.
↑ Ikramov, 1991 , sid. tio.
↑ 1 2 3 Gantmakher, 1988 , sid. 27.
↑ Gantmakher, 1988 , sid. 42-43.
↑ Voevodin och Kuznetsov, 1984 , sid. 76, 174-175.
↑ Voevodin och Kuznetsov, 1984 , sid. trettio.

Litteratur

Voevodin V.V. , Kuznetsov Yu.A. Matriser och beräkningar. — M .: Nauka , 1984. — 320 sid.
Gantmakher F. R. . Matristeori. 4:e uppl. — M .: Nauka , 1988. — 552 sid. — ISBN 5-02-013722-7 .
Ikramov H. D. . Asymmetriskt egenvärdeproblem. Numeriska metoder. — M .: Nauka , 1991. — 240 sid. — ISBN 5-02-014462-2 .