Van der Pol oscillator

Van der Pol - oscillatorn är en icke-linjärt dämpad oscillator som följer ekvationen

{d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0

, var

x

är punktens koordinat , beroende på tiden ;

t

\mu

är den koefficient som kännetecknar olinjäriteten och dämpningskraften för svängningar.

Historik

Van der Pol-oscillatorn föreslogs av den holländska ingenjören och fysikern Balthasar van der Pol när han var på Philips . [1] Van der Pol hittade stabila svängningar, som kallades avslappningssvängningar, [ 2] kända som "gränscykler" . , som alltid ligger nära vågornas naturliga frekvenser. Detta var en av de första observationerna av deterministiskt kaos . [fyra]

Van der Pols ekvation används i både fysik och biologi . Så, till exempel inom biologi, skapades Fitz Hugh-Nagumo-modellen . Denna ekvation användes också inom seismologi för att modellera geologiska förkastningar . [5]

Tvådimensionellt fall

Med hjälp av Liénards teorem kan man bevisa att systemet har en gränscykel. Det följer av detta teorem att . Från detta kan vi härleda [6] van der Pols oscillatorekvationer för det tvådimensionella fallet: $y=x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}$

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\ \{\frac {dy}{dt}}&={\frac {1}{\mu }}x\end{aligned}}\right.

Du kan också göra ett annat byte och få $y={\frac {dx}{dt))$

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y\\{\frac {dy}{dt}}&=\mu (1-x^{2})yx\ end{aligned}}\right.

Oscillator med fria vibrationer

Van der Pol-oscillatorn har två intressanta lägen: vid och vid . Det är uppenbart att den tredje moden - - inte existerar, eftersom dämpningen i systemet inte kan vara negativ. $\mu=0$ $\mu>0$ $\mu<0$

1) När , det vill säga oscillatorn beräknas utan dämpning, omvandlas ovanstående ekvationer till formen

\mu=0

{d^{2}x \över dt^{2}}+x=0

. Detta är ekvationen för en harmonisk oscillator . 2) För har systemet vissa gränscykler. Ju längre från noll, desto mindre liknar oscillatorns oscillationer de harmoniska.

\mu>0

\mu

Forcerade vibrationer

Forcerade svängningar av Van der Pol-oscillatorn, både med och utan energiförluster, beräknas med formeln

{d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=A\sin(\omega t)

, var

A

är amplituden för den externa övertonssignalen,

\omega

är dess vinkelfrekvens.

Anteckningar

↑ Cartwright, ML, "Balthazar van der Pol" Arkiverad 18 oktober 2019 på Wayback Machine , J. London Math. soc. 35 , 367-376 (1960).
↑ Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci. 2 (7) , 978-992 (1927).
↑ Van der Pol, B. och Van der Mark, J., "Frequency demultiplication", Nature , 120 , 363-364, (1927).
↑ Kanamaru, T., "Van der Pol oscillator" Arkiverad 9 juli 2009 på Wayback Machine , Scholarpedia , 2 (1), 2202, (2007).
↑ Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. och Piro, O., "Dynamics of elastic excitable media", Internat. J. Bifur. ChaosAppl. sci. Engrg. 9 , 2197-2202, (1999).
↑ Kaplan, D. och Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics , Springer, 240-244, (1995)

Se även

Länkar

Exempel på fasporträtt av en oscillator .