Meshcherskys ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Meshchersky-ekvationen är den grundläggande ekvationen i mekaniken för kroppar med variabel massa, erhållen av I. V. Meshchersky 1897 [ 1] för en materiell punkt med variabel massa (sammansättning).

Ekvationen skrivs vanligtvis i följande form:

M(t){\frac {d{\mathbf v}}{dt}}={\mathbf u}_{1}(t){\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u }_{2}(t){\frac {dm_{2}}{dt}}+{\mathbf F},

var:

$M(t)$ är massan av en materiell punkt, som förändras på grund av utbytet av partiklar med omgivningen, vid en godtycklig tidpunkt t;
${\mathbf v}$ är rörelsehastigheten för en materialpunkt med variabel massa;
${\mathbf F}$ - resultatet av yttre krafter som verkar på en materialpunkt med variabel massa från dess yttre miljö (inklusive, om detta inträffar, från den sida av mediet med vilken den byter partiklar, till exempel elektromagnetiska krafter - vid massöverföring med ett magnetiskt medium, mediumrörelsens motstånd, etc.);
${\mathbf u}_{1}(t)={\mathbf v}_{1}-{\mathbf v}$ är den relativa hastigheten för de sammanfogande partiklarna;
${\mathbf u}_{2}(t)={\mathbf v}_{2}-{\mathbf v}$ är den relativa hastigheten för de separerade partiklarna;
${\frac {dm_{1}}{dt}}>0$ och är ökningshastigheten i den totala massan av de fästa partiklarna respektive ökningshastigheten i den totala massan av de separerade partiklarna. ${\frac {dm_{2}}{dt}}>0$

Tsiolkovsky-formeln kan erhållas som ett resultat av att lösa denna ekvation.

Storlek:

{\mathbf F}_{r}={\mathbf u}_{1}{\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u}_{2}{\frac {dm_{2} }{dt}}

kallas "reaktiv effekt" .

Vanligtvis [2] [3] [4] erhålls Meshchersky-ekvationen baserat på ekvationen för förändringshastigheten för rörelsemängden för systemet av materialpunkter, som har formen:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\vec F},

var är systemets impuls, lika med summan av impulserna av alla materiella punkter som utgör systemet, och är resultatet av alla yttre krafter som verkar på systemets kroppar. Nedan är en härledning av ekvationen med just ett sådant tillvägagångssätt. ${\vec P}$ ${\vec {F}}$

Härledning av Meshchersky-ekvationen

Betrakta en kropp med variabel massa . Låt en liten massa sammanfoga kroppen under en tidsperiod , som hade en hastighet innan sammanfogningen , och en liten massa separerar , vars hastighet efter separation blir lika med . Som systemet av intresse för oss kommer vi att betrakta alla tre nämnda organ. $M=M(t)$ $dt$ $dm_{1}$ ${\vec {v}}_{1}$ $dm_{2}$ ${\vec {v}}_{2}$

I enlighet med lagen om bevarande av rörelsemängd är rörelsemängden i systemet i början och slutet av den aktuella processen densamma:

M{\vec {v}}+dm_{1}{\vec {v}}_{1}=M{\vec {v}}+d(M{\vec {v}})+dm_ {2}{\vec {v}}_{2},\qquad (1)

var är förändringen i huvudkroppens rörelsemängd på grund av både förändringen i dess hastighet och förändringen i dess massa. $d(M{\vec {v)))$

Med hänsyn till att från (1) får vi: $d(M{\vec {v)))=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}$

dm_{1}{\vec {v}}_{1}=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}+dm_{2}{\vec {v}}_{2}. \qquad (2)

Förändringen i huvudkroppens massa är förknippad med och förhållandet , därför från (2) följer det: $dM$ $dm_{1}$ $dm_{2}$ $dM=dm_{1}-dm_{2}$

dm_{1}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})=Md{\vec {v}}+dm_{2}({\vec {v}}_{2 }-{\vec {v))).\qquad (3)

Efter att ha gått från differentialer till derivator och ordnat om termerna tar (3) formen:

M{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dm_{1}}{dt}}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v }})-{\frac {dm_{2}}{dt}}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (4)

Genom att introducera de relativa partikelhastigheterna och lika med respektive , och lägga till resultanten av yttre krafter , får vi Meshchersky-ekvationen i sin slutliga form. ${\vec {u}}_{1}$ ${\vec {u}}_{2}$ $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$ $\vec{F}$

Relativistisk Meshchersky-ekvation

De första verken [5] som ägnades åt studier av raketers rörelse med hänsyn till relativistiska effekter var verk av Akkeret [6] och Zenger [7] .

När man härleder Meshchersky-ekvationen, lämplig för fallet med hastigheter jämförbara med ljusets hastighet, används uttrycket för det relativistiska momentumet . Som ett resultat tar ekvationen formen: ${\vec p}={\frac {m{\vec v}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {M{\vec {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\right )={\vec {v}}_{1}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{1}}{{\sqrt {1-v^{2}/ c^{2}}}}}\right)-{\vec {v}}_{2}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{2}}{{ \sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\right).

I denna ekvation, i det allmänna fallet, relativa hastigheter och inte introduceras , eftersom i det relativistiska fallet tillägget av hastigheter utförs annorlunda. $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$

För fallet med endast partiklar separerade med en hastighet i linje med raketens hastighet, reduceras denna ekvation till följande form:

M{\frac {dv}{dt}}=-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)u{\frac {dM}{dt}} ,

var är partiklarnas hastighet i förhållande till raketen. $u={\frac {v_{2}-v}{1-v_{2}\cdot v/c^{2}}}$

Upptäcktshistorik

Rörelseekvationen för en materiell punkt med variabel massa för fallet med fastsättning (eller separation) av partiklar erhölls och undersöktes grundligt i magisteravhandlingen av IV Meshchersky, försvarad vid St. Petersburgs universitet den 10 december 1897 [8] . Den första rapporten om rörelseekvationen för en materiell punkt med variabel massa i det allmänna fallet med samtidig vidhäftning och separation av partiklar gjordes av I. V. Meshchersky den 24 augusti 1898 vid ett möte för matematik- och astronomisektionen av X-kongressen i Ryska naturforskare och läkare i Kiev , blev det allmänt känt senare, efter arbetet "Rörelseekvationer för en punkt med variabel massa i det allmänna fallet", publicerat i "Proceedings of the St. Petersburg Polytechnic Institute" 1904 [9] .

Det tillbaka )1851_G.K.att enligtbör noteras

Anteckningar

↑ Kosmodemyansky A. A. "Ivan Vsevolodovich Meshcherskys vetenskapliga aktivitet" s. 9-25 i boken av I. V. Meshchersky. Arbetar med mekaniken hos kroppar med variabel massa. Ed. 1:a. — M.: GITTL, 1949. s.13.
↑ Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. — M .: Fizmatlit; MIPT Publishing House, 2005. - T. I. Mechanics. — S. 119-120. — 560 sid. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. - M . : Högre skola, 1986. - S. 287-288. — 416 sid.
↑ Irodov I. E. Mekanikens grundläggande lagar. - M . : Högre skola, 1985. - S. 41. - 248 sid.
↑ Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Grundläggande makroskopiska teorier om gravitation och elektromagnetism. - M .: Nauka, 1989. S. 153.
↑ Aekeret I. Zur Theorie der Raketen // Helv-Physica. Acta.—1946. - T. 19, N 2-P. 103-112.
↑ Sanger E. Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe. - Munchen, 1956 (rysk översättning: M .: IL, 1958).
↑ Meshchersky I. V. Arbetar med mekaniken hos kroppar med variabel massa. - M . : Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1952. - S. 37.
↑ Meshchersky I. V. Arbetar med mekaniken hos kroppar med variabel massa. - M . : Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1952. - S. 222.
↑ Utveckling av grunderna för dynamiken i ett system med variabel sammansättning och teorin om jetframdrivning. — M.: 1977
↑ "Studier i fysiks och mekanikens historia". Moskva: Nauka, 1986, sid. 191-238

Litteratur

Meshchersky I. V. "Dynamics of a point of variabel massa" // I boken. I. V. Meshchersky. Arbetar med mekaniken hos kroppar med variabel massa. Ed. 2:a. — M.: GITTL, 1952. — 280 sid. sid. 37-188.
Meshchersky I.V. , "Rörelseekvationerna för en punkt med variabel massa i det allmänna fallet" // I boken. I. V. Meshchersky. Arbetar med mekaniken hos kroppar med variabel massa. Ed. 2:a. — M.: GITTL, 1952. — 280 sid. sid. 222-264.
Mikhailov G. K. "Om historien om dynamiken hos system med variabel sammansättning" Izvestiya AN SSSR: Rigid Body Mechanics, 1975, nr 5, sid. 41-51.
Mikhailov GK Om historien om dynamiken i system med variabel sammansättning och teorin om jetframdrivning. M.: Institute of Problems of Mechanics vid USSR:s vetenskapsakademi, 1974.
Karagodin V. M. Teoretiska grunder för kroppsmekanik med variabel sammansättning. M.: Oborongiz, 1963. 178s.
Mekanik för kroppar med variabel massa - en artikel från Physical Encyclopedia
Kilchevsky N.A. Kurs i teoretisk mekanik. Volym 1. M .: Nauka, 1977. Kapitel IV "Dynamik för en punkt med variabel massa" Paragraf 221. - Härledning av Meshchersky-ekvationen (s. 433-435).
Aizerman M.A. Klassisk mekanik. 2:a uppl. M.: Nauka, 1980. - 368s. Kapitel 3. Avsnitt 9. Tillämpning av mekanikens grundläggande satser på rörelsen av ett system med variabel sammansättning. sid. 107-120.
Veretennikov V. G. , Sinitsyn V. A. Teoretisk mekanik (tillägg till allmänna avsnitt). — M.: FIZMATLIT, 2006. — 416 sid. - ISBN 5-9221-0703-8 (Paragrafer 2.5. Kinematics of a system of variabel komposition. s.71-77; 3.4. Grundläggande dynamiska kvantiteter av ett system med variabel sammansättning. s. 91-94; 6.2. Problemet med masscentrums rörelse under en kropps växelverkan med s. 170-172, 6.3. Satsen om förändringen av rörelsemängden hos ett system med variabel sammansättning, s. 172-180, 6.6. Tillämpning av satsen på förändringen i kinetisk energi till ett system med variabel sammansättning, s. 200-207; 7.2. Den allmänna ekvationen analytisk dynamik för ett system av punkter med variabel massa, s. 215-227.)
Sedov L. I. On the relativistic theory of raket flight // Tillämpad matematik och mekanik - 1986. - V. 50, nr. 6.
Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Grunderna i makroskopiska teorier om gravitation och elektromagnetism. — M.: Nauka, 1989. — 272 sid. — ISBN 5-02-013805-3 . Kapitel III. stycke 4. Relativistisk teori om raketflygning.

Länkar

Borodovsky VN Inhemska missiler. Historia och framtid