Fishers ekvation (matematik)

Fishers ekvation ( även känd som Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov- ekvationen , KPP -ekvationen eller Fisher-KPP-ekvationen ) är en icke- linjär andra ordningens partiell differentialekvation :

{\frac {\partial w}{\partial t))={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+aw(1-w).

Historik

Ekvationen är uppkallad efter statistikern och biologen Ronald Aylmer Fisher , som föreslog den 1937 i samband med populationsdynamik för att beskriva den rumsliga fördelningen av fördelaktiga alleler och hittade dess resande våglösning . [ett]

Applikation

Fishers ekvation finns i problem med värme- och massöverföring, förbränningsteori , biologi och ekologi , i plasmafysik och problem i teorin om fasövergångar . Den beskriver till exempel massöverföring i en tvåkomponents orörlig blandning i närvaro av en volumetrisk kvasi-första ordningens kemisk reaktion. Den kinetiska funktionen modellerar också den autokatalytiska kedjetransformationen i förbränningsteorin. [2] $f(w)=aw(1-w)$

Beslut

För våghastigheten medger ekvationen lösningar i form av en resande våg , och . Formen på lösningarna är unik för varje våglängd. Det finns inga sådana lösningar. [ett] $c\geq 2{\sqrt {a}}$ $w(x,t)=w(x\pmct)=w(z)$ $\lim _{z\rightarrow -\infty }=0,\lim _{z\rightarrow +\infty }=1$ $c<2{\sqrt {a))$

När det gäller hastighet kan följande exakta lösningar erhållas: ${\displaystyle c=\pm {\frac {5}{\sqrt {6))))$

w(z)=\left[\pm 1+C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})\right]^{-2},

w(z)={\frac {1+2C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6))})}{\left[1+C\exp(\mp {\ frac {z}{\sqrt {6}}}})\right]^{2}}},

där är en godtycklig konstant. [2] $C$

Anteckningar

↑ 1 2 R. A. Fisher. Vågen av framsteg av fördelaktiga gener Arkiverad 15 december 2018 på Wayback Machine , Ann. Eugenics 7 :353-369, 1937
↑ 1 2 * Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nolinar Equations of Mathematical Physics. - M. : FIZMATLIT, 2002. - S. 11. - 432 sid.