Stabilitet (dynamiska system)

Stabilitet är egenskapen hos en lösning av en differentialekvation för att locka andra lösningar till sig själv, förutsatt att deras initiala data är tillräckligt nära . Beroende på attraktionens karaktär särskiljs olika typer av stabilitet. Hållbarhet är ett ämne för studier inom discipliner som stabilitetsteori och dynamisk systemteori .

Definitioner

Låta vara en region av fasutrymmet , , där . Betrakta ett system av differentialekvationer av följande form: $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I=[\tau ;\infty )$ $\tau \in \mathbb {R}$

{\dot {x}}=f(t,x),

(ett)

där funktionen är definierad , kontinuerlig och uppfyller Lipschitz-villkoret lokalt i domänen . $x \in \mathbb{R}^n$ $f$ $x$ $I\times\Omega$

Under dessa förhållanden, för alla , finns det en unik lösning på system (1) som uppfyller de initiala villkoren: [1] . Vi pekar ut någon lösning definierad på intervallet , så att vi kommer att kalla det den ostörda lösningen. $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ $x(t,t_{0},x_{0})$ $x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}$ $\varphi (t)$ $J^{+}=[t_{0};\infty )$ $J^{+}\subset I$

Stabilitet enligt Lyapunov

Den opåverkade lösningen av system (1) kallas Lyapunov stabil om för någon och det existerar , endast beroende på och och inte beroende på , så att för alla , för vilka , lösningen av system (1) med initiala villkor sträcker sig till hela semiaxis och för någon tillfredsställer ojämlikheten [1] . $\varphi (t)$ $t_{0}>\tau$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $\varepsilon$ $t_0$ $t$ $x_{0}$ $\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta$ $x$ $x(t_{0})=x_{0}$ ${\displaystyle J^{+))$ ${\displaystyle t\in J^{+))$ $\|x(t)-\varphi (t)\|<\varepsilon$

Symboliskt står det så här:

\forall \varepsilon >0,\forall t_{0}\in I\ \exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0:\ \forall x_{0}:\|x_{0} -\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\ |<\varepsilon .

En ostörd lösning av system (1) kallas instabil om den inte är Lyapunov-stabil, dvs. $\varphi (t)$

\exists \varepsilon >0,\exists t_{0}\in I:\forall \delta >0\ \exists x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\ |<\delta ,\exists t_{*}>t_{0}:\|x(t_{*},t_{0},x_{0})-\varphi (t_{*})\|=\varepsilon .

Enhetlig stabilitet

En ostörd lösning av system (1) kallas enhetligt stabil i betydelsen Lyapunov om den, från den tidigare definitionen, endast beror på : $\varphi (t)$ $\delta$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0:\ \forall x_{0},\forall t_{0}\in I:\|x_{0}-\varphi (t_ {0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .

Asymptotisk stabilitet

En opåverkad lösning av system (1) kallas asymptotiskt stabil om den är Lyapunov stabil och attraktiv, det vill säga villkoret är uppfyllt för varje lösning med initiala data , för vilken ojämlikheten gäller för vissa . $\varphi (t)$ $\lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|=0$ $x(t)$ $x_{0}$ ${\displaystyle ||x_{0}-\varphi (t_{0})||<\delta _{0))$ ${\displaystyle \delta _{0))$

Det finns vissa varianter av asymptotisk stabilitet [2] . Den ostörda lösningen av system (1) kallas: $\varphi (t)$

ekviasymptotiskt stabil om den är stabil och lika attraktiv ( beror inte på ). $x(t)$ $x_{0}$
likformigt asymptotiskt stabilt om det är likformigt stabilt och likformigt attraherande ( beror inte på och ). $x(t)$ $t_0$ $x_{0}$
globalt asymptotiskt stabil om den är stabil och globalt attraktiv (det finns ingen begränsning på ). $x_{0}$
likformigt asymptotiskt stabil som helhet om den är likformigt stabil och likformigt och globalt attraktiv.

Notera

Den triviala lösningen kan betraktas som en ostörd lösning av systemet , vilket gör stabilitetsförhållandena enklare. För detta är det nödvändigt att införa en skiftande förändring och överväga systemet $x(t)\equiv 0$ $y=x-\varphi$

{\dot {y}}=g(t,y),

var $g(t,y)=f(t,y+\varphi (t))-f(t,\varphi (t)).$

Anteckningar

↑ 1 2 Afanasiev et al., 2003 , sid. 9.
↑ Rush et al., 1980 , sid. 19.

Litteratur

Bellman, R. Stabilitetsteori för lösningar till differentialekvationer. -M .:Förlag för utländsk litteratur, 1954. (ryska)
Chetaev, N. G. Stabilitet av rörelse. - 4:e uppl., Rev. -M .:Nauka, 1990. - 176 sid. —ISBN 5-02-014018-X. (ryska)
Krasovsky, N. N. Några problem med teorin om rörelsestabilitet. —M.:Fizmatgiz, 1959. (ryska)
Malkin IG teori om rörelsestabilitet. - 2nd ed., Rev. -M .:Nauka, 1966. (ryska)
Demidovich, B. P. Föreläsningar om den matematiska stabilitetsteorin. —M.:Nauka, 1967. — 472 sid. (ryska)
Afanasiev VN , Kolmanovsky VB , Nosov VR Matematisk teori för design av styrsystem. - 3:e uppl., Rev. och ytterligare .. - M . : Higher School , 2003. - 614 sid. — ISBN 5-06-004162-X . (ryska)
Filippov, A. F. Introduktion till teorin om differentialekvationer. - Ed. 2:a. - Redaktionell URSS, 2007. - 240 sid. —ISBN 978-5-484-00786-8.
Rush, N. , Abets, P. , Lalua, M. Direkt Lyapunov-metod i stabilitetsteori. — M .: Mir , 1980.