Wiener uppskattning

Wiener-uppskattning är problemet med att hitta impulssvaret för ett linjärt stationärt system som vid utgången ger en uppskattning av värdena för den användbara signalen som kommer in i tillsatsblandningen med brus som är optimalt i betydelsen minimum av medelkvadraten fel.

Villkor

Det krävs att hitta impulssvaret för ett linjärt stationärt system, vars ingång är en additiv blandning av den användbara signalen med brus : , och utsignalen bör vara en uppskattning av värdet på den användbara signalen , vilket minimerar medelkvadraten fel mellan uppskattningen och det verkliga värdet av den användbara signalen . $w(t)$ $med)$ $y(t)$ $e(t)$ $f(t)=y(t)+e(t)$ $d(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }w(\tau )f(t-\tau )d\tau$ $\epsilon ^{2}(t)=m_{1}\left\{(y(t)-d(t))^{2}\right\}$

Det antas att användningsförhållandena, signalernas karaktär och störningar förblir ganska stabila, deras statistiska egenskaper förändras lite. Om förhållandena är varierande och interferensen ändras avsevärt under driften av systemen, blir det nödvändigt att automatiskt optimera systemens parametrar. Detta utförs i olika typer av extrema, adaptiva inlärningssystem.

Lösning på problemet

Systemfelet är lika med skillnaden mellan uppskattningen och det verkliga värdet av den användbara signalen . Det minsta rotmedelvärdefelet är per definition [1] : $d(t)$ $y(t)$ $e(t)=d(t)-y(t)$

$\eta =\overline {e^{{2}}}=\overline {d^{{2}}}-2\,\overline {d\,y}+\overline {y^{{2}}}$ =

$\overline {d^{{2}}}-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w(\tau )\overline {f(t-\tau )d(t) }\,{\mathrm {d}}\tau +\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w (\xi )w(\mu)\överlinje {f(t-\xi)f(t-\mu)}\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ =

$\overline {d^{{2}}}-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w(\tau )\rho _{{fd}}(\tau ){\ mathrm {d}}\tau +\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w(\xi)w (\mu )\rho _{{ff))(\xi -\mu )\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ .

Här används notationen för korrelationsfunktioner :

$\rho _{{fd}}(\tau )=\överlinje {f(t)\,d(t+\tau)}$

$\rho _{{ff}}(\tau )=\överlinje {f(t)\,f(t+\tau )}$ .

Linjen ovanför formeln betyder tidsgenomsnitt. Vi antar att systemets optimala impulssvar existerar och är lika med . $w_{{\text{opt}}}$

Då kan varje impulssvar i systemet som skiljer sig från det representeras som

$w(t)=w_{{\text{opt}}}(t)+\alpha \,\theta (t)$ ,

där är en godtycklig funktion av tiden, är en variabel koefficient. $\theta (t)$ $\alfa$

Minsta standardavvikelsefel uppnås vid . För att söka måste du hitta derivatan av kvalitetsindikatorn genom variationskoefficienten och likställa den med noll vid : $\alfa=0$ $w_{{\text{opt}}}(t)$ $\eta$ $\alfa$ $\alfa=0$

${\frac {\partial \eta }{\partial \alpha }}|_({\alpha =0}}$ =

$-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\tau )\,\rho _{{fd}}(\tau )\,{\mathrm {d}}\ tau +\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\left[w_{{\text{opt}} }(\xi )\,\theta (\mu )+w_{{\text{opt))}(\mu )\,\theta (\xi )\right]\,\rho _{{ff}}( \xi -\mu )\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ =

$-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\xi )\rho _{{fd}}(\xi )\,{\mathrm {d}}\xi + 2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\xi )\,w_{{\text {opt}}}(\mu )\,\rho _{{ff}}(\xi -\mu )\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ =

$2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\xi )\,\left[\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w_{ {\text{opt))}(\mu )\rho _{{ff))(\xi -\mu ){\mathrm {d))\mu -\rho _{{fd))(\xi )\ höger]\,{\mathrm {d}}\xi =0$

Eftersom det är en godtycklig funktion gäller den sista likheten om och endast om: $\taxin )$

$\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w_{{\text{opt}}}(\mu )\,\rho _{{ff}}(\xi -\mu )\ ,{\mathrm {d}}\mu -\rho _{{fd}}(\xi )=0$ .

Detta är Wiener-Hopf-ekvationen , som bestämmer det optimala impulssvaret för systemet enligt kriteriet för minsta rot-medelkvadratfel. För att lösa, tillämpar vi Laplace-transformen på den resulterande ekvationen. Det är känt att Laplace-transformen från faltning är lika med produkten av Laplace-transformerna , då:

$w_{{\text{opt}}}(p)S_{{ff}}(p)-S_{{fd}}(p)=0$ ,

var ; ; . $w_{{\text{opt}}}(p)=L{w_{{\text{opt}}}(t)}$ $S_{{ff}}(p)=L{\rho _{{ff}}(t)}$ $S_{{fd}}(p)=L{\rho _{{fd}}(t)}$

Således bestämmer vi det optimala wienerfiltret av den första typen:

$W_{{\text{opt I}}}={\frac {S_{{fd}}(p)}{S_{{ff}}(p)))$ .

När ordningen för polynomet i täljaren visar sig vara högre än ordningen för polynomet i nämnaren, är Wienerfiltret av 1:a slaget fysiskt orealiserbart. För att lösa problemet, efter att ha bestämt impulssvaret, tvångslikställs det med noll vid negativa värden (det är skillnaden från noll vid som kännetecknar systemets fysiska orealiserbarhet) och därmed ett fysiskt realiserbart wienerfilter av 2:a slaget erhålles. $t$ $w(t)$ $t<0$

Historik

Under andra världskriget stod den amerikanske matematikern N. Wiener inför uppgiften att separera en användbar signal från buller när man skulle lösa problem med att automatisera luftvärnssystem med radarteknik. År 1942 löste N. Wiener teoretiskt detta problem genom att anta att det önskade systemet måste vara linjärt med konstanta parametrar, observationstiden är oändlig, systemets in- och utsignaler är stationära och stationära associerade slumpmässiga processer , och systemet minimerar medelkvadratfel mellan de användbara in- och utsignalerna. Experimentella analoga enheter med denna metod skapades och testades, men av ett antal anledningar kunde de inte tillämpas i riktiga luftförsvarssystem.

Se även

Wiener-Hopf ekvation

Anteckningar

↑ Levin B. R. Teoretiska grunder för statistisk radioteknik. Bok två. - M., sovjetisk radio, 1968. - sid. 280

Litteratur

Norbert Wiener "Jag är en matematiker", M., "Nauka", 1964, kap 12 "Krigsåren. 1940-1945", sid. 213-265;
Khurgin Ya. I. "Ja, nej eller kanske...", 2:a uppl., M., Nauka, 1983, 208 s., illustration, 32.81 X98 UDC 62-50 BBK 32.81 6F0.1, fotografering . 100 000 exemplar, kap. "Hoppets konst", sid. 138-148;
L. A. Vainshtein, V. D. Zubakov "Isolering av signaler mot bakgrund av slumpmässigt brus", M., "Sovjetradio", 1960, 447 s., kap. 1 "Grundbegrepp i teorin om filtrering av slumpmässiga processer", sid. 7-54;
J. Bendat "Fundamentals of theory of random noise and its applications", M., "Nauka", 1965, 464 sidor med illustrationer, kap. 4 “Optimal linjär förväntan och filtrering”, sid. 165-215;
Levin B.R. «Teoretiska grunder för statistisk radioteknik. Bok två, Moskva, Sovjetradion, 1968, 502 sidor med illustrationer, kap. 4 “Filtrera slumpmässiga processer”, sid. 278-319;