Teori för linjära stationära system

Teorin om linjära stationära system är en gren av teorin om dynamiska system som studerar beteendet och dynamiska egenskaper hos linjära stationära system (LSS). Den används för att studera styrprocesser för tekniska system, för digital signalbehandling och inom andra områden inom vetenskap och teknik.

Översikt

De definierande egenskaperna för alla linjära stationära system är linjäritet och stationaritet :

Linjäritet betyder ett linjärt förhållande mellan systemets input och output.

Formellt kallas ett system linjärt om det har följande egenskap:

om signalen vid systemets ingång kan representeras av en viktad summa av influenser (till exempel två) - x ( t ) = A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) då är signalen vid systemets utgång också en viktad summa av reaktioner på var och en av influenserna - y ( t ) = A y 1 ( t ) + B y 2 ( t ) för alla konstanter A och B .

Stationaritet innebär att systemets utsignal som en reaktion på en given insignal är densamma för varje tillfälle då insignalen appliceras (upp till fördröjningstiden för ingångssignalens applikation). I en snävare mening, om ingångssignalen är fördröjd i tid med en viss mängd, kommer utsignalen att fördröjas med samma mängd.

Dynamiken i system med ovanstående egenskaper kan beskrivas med en enkel funktion, till exempel impulstransientfunktionen . Systemets utsignal kan beräknas som en faltning av insignalen med systemets impulsövergångsfunktion. Denna analysmetod kallas ibland för tidsdomänanalys . Ovanstående gäller även för diskreta system.

Dessutom kan vilken LSS som helst beskrivas i frekvensdomänen genom dess överföringsfunktion , som är Laplace-transformen av impulssvarsfunktionen (eller Z-transform i fallet med diskreta system). På grund av egenskaperna hos dessa transformationer kommer systemets utsignal i frekvensdomänen att vara lika med produkten av överföringsfunktionen och motsvarande transformation av insignalen. Med andra ord, faltning i tidsdomänen motsvarar multiplikation i frekvensdomänen.

För alla LSS är egenfunktioner komplexa exponenter . Det vill säga, om ingången till systemet är en komplex signal med en viss komplex amplitud och frekvens , kommer utsignalen att vara lika med en signal med en komplex amplitud . Förhållandet kommer att vara systemets överföringsfunktion vid frekvens . $A\exp({st})$ $A$ $s$ $B\exp({st})$ $B$ $B/A$ $s$

Eftersom sinusoider är summan av komplexa exponenter med komplexa konjugerade frekvenser, om systemets ingång är en sinusform, kommer systemets utgång också att vara en sinusoid, i det allmänna fallet med en annan amplitud och fas, men med samma frekvens .

LSS-teorin lämpar sig väl för att beskriva många system. De flesta LSS:er är mycket lättare att analysera än icke-stationära och icke-linjära system. Varje system vars dynamik beskrivs av en linjär differentialekvation med konstanta koefficienter är ett linjärt stationärt system. Exempel på sådana system är elektriska kretsar sammansatta av motstånd , kondensatorer och induktorer (RLC-kretsar). En vikt på en fjäder kan också betraktas som LSS.

De flesta av de allmänna koncepten för LSS är likartade i fallet med kontinuerliga system såväl som i fallet med diskreta system.

Stationaritet och linjära transformationer

Betrakta ett icke-stationärt system vars impulssvar är en funktion av två variabler. Låt oss se hur stationaritetsegenskapen hjälper oss att bli av med en dimension. Låt till exempel insignalen vara , där argumentet är talen för den reella axeln, det vill säga . Linjeoperatören visar hur systemet hanterar denna inmatning. Motsvarande operator för en uppsättning argument är en funktion av två variabler: $x(t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\mathcal {H}}$

h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.

För ett diskret system:

h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \in \mathbb{Z}.

Eftersom det är en linjär operator representeras effekten av systemet på insignalen av en linjär transformation som beskrivs av följande integral (superpositionsintegral) ${\mathcal {H}}$ $x(t)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.

Om linjäroperatorn också är stationär, då ${\mathcal {H}}$

h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \qquad \forall \, \tau \in \mathbb{R}.

Att sätta

\tau =-t_{2},

vi får:

h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0).

För korthetens skull utelämnas vanligtvis det andra argumentet i och superpositionsintegralen blir faltningsintegralen: $h(t_1, t_2)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).

Således visar faltningsintegralen hur ett linjärt stationärt system behandlar vilken insignal som helst. Den resulterande relationen för diskreta system:

y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].

Impulstransientfunktion

Om en insignal i form av Dirac delta-funktionen appliceras på systemets ingång , kommer den resulterande utsignalen från LSS att vara systemets impulstransientfunktion . Inspelning:

(h * \delta) (t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),

För ett diskret system:

x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[nm].

(på grund av skiftegenskapen för deltafunktionen).

Lägg märke till att:

h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{med } t = t_1 - t_2)

det vill säga systemets impulsövergångsfunktion $h(t)$

Impulstransientfunktionen används för att hitta systemets utsignal som ett svar på vilken insignal som helst. Dessutom kan vilken ingång som helst representeras som en överlagring av deltafunktioner:

x(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

Om vi tillämpar systemets ingång får vi:

\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

(eftersom det är linjärt)

{\mathcal {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau

(eftersom den är konstant i t och linjär)

x(\tau)

{\mathcal {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau

(per definition av )

h(t)

Impulsövergångsfunktionen innehåller all information om LSS-dynamiken. $h(t)$

Egna funktioner

En egenfunktion är en funktion för vilken utsignalen från operatorn är samma funktion, i det allmänna fallet upp till en konstant faktor. Inspelning:

\mathcal{H}f = \lambda f

där f är en egenfunktion och är ett egenvärde , en konstant. $\lambda$

Exponenterna , där är egenfunktionerna för den linjära stationära operatorn. Enkelt bevis: $e^{st}$ $s \in \mathbb{C}$

Låt systemets insignal vara . Då är systemets utdata : $x(t) = e^{st}$ $h(t)$

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{s \tau} d \tau

vilket är ekvivalent med följande uttryck på grund av faltningens kommutativitet:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau

\quad = e^{st} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau

\quad = e^{st} H(s)

var

H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

beror bara på s .

Således är egenfunktionen för LSS. $e^{st}$

Laplace och Fourier transformer

Laplace transformation

H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

är ett exakt sätt att få egenvärdena från impulssvarsfunktionen. Av särskilt intresse är rena sinusoider, det vill säga exponenter av formen där och är den imaginära enheten . De brukar kallas komplexa exponenter även om argumentet inte har en reell del. Fouriertransformen ger egenvärden för rent komplexa sinusoider. kallas systemets överföringsfunktion , ibland i litteraturen används denna term också för . $\exp({j \omega t})$ $\omega \in \mathbb{R}$ $j$ $H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}$ $H(s)$ $H(j\omega)$

Laplacetransformen används vanligtvis för ensidiga signaler, dvs med noll initiala villkor. Tidens initiala ögonblick tas som noll utan förlust av generalitet, och transformationen tas från noll till oändlighet (transformationen som erhålls genom att integrera även till minus oändlighet kallas den tvåsidiga Laplace-transformen ).

Fouriertransformen används för att analysera system genom vilka periodiska signaler passerar, och i många andra fall - till exempel för att analysera ett system för stabilitet .

På grund av faltningsegenskaperna gäller följande relationer för båda transformationerna:

y(t) = (h*x)(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau

\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}

För diskreta system:

y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[nm] x[m]

\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Vissa egenskaper

Några av de viktiga egenskaperna hos alla system är kausalitet och stabilitet. För att systemet ska existera i den verkliga världen måste kausalitetsprincipen vara uppfylld. Ohållbara system kan byggas och ibland till och med vara användbara.

Kausalitet

Ett system kallas kausalt om dess utdata endast beror på den aktuella eller tidigare tillämpade åtgärden. Nödvändigt och tillräckligt villkor för kausalitet:

h(t) = 0 \quad \forall t < 0,

För diskreta system:

h[n] = 0 \ \förallt n < 0,

var är impulsövergångsfunktionen. I en explicit form är det omöjligt att bestämma kausalsystemet eller inte från dess Laplace-transform i det allmänna fallet, eftersom den inversa Laplace-transformen inte är unik. Kausalitet kan bestämmas när konvergensområdet anges . $h(t)$

Hållbarhet

Systemet är stabilt i bounded input, bounded output ( engelsk bounded input, bounded output stabil, BIBO stabil ) om utsignalen för varje bounded ingång är ändlig. Inspelning: Om

||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \right)^{ 1/p} < \infty

och

||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \right)^{ 1/p} < \infty

(det vill säga maxima för de absoluta värdena och är ändliga), då är systemet stabilt. Nödvändigt och tillräckligt villkor för stabilitet: systemets impulssvar, , måste uppfylla uttrycket $x(t)$ $y(t)$ $h(t)$

||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.

För diskreta system:

||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.

I frekvensdomänen måste konvergensområdet innehålla den imaginära axeln . $s=j\omega$

Se även

Länkar

P.P. Vaidyanathan och T. Chen. Rollen av antikausala inverser i flerhastighetsfilterbanker -- Del I: systemteoretiska grunder // IEEE Trans. SignalProc. : journal. - 1995. - Maj.
P.P. Vaidyanathan och T. Chen. Roll av antikausala inverser i flerhastighetsfilterbanker -- Del II: FIR-fallet, faktoriseringar och biortogonala överlappade transformer // IEEE Trans. SignalProc. : journal. - 1995. - Maj.
IN OCH. Tänder. Teori för ekvationer för kontrollerad rörelse (obestämd) . - L . : LSU, 1980.