Utställare

Exponenten är en exponentiell funktion , där är Eulertalet . $f(x)=\exp(x)=e^{x}$ $e\approx 2{,}718$

Definition

Exponentialfunktionen kan definieras på olika ekvivalenta sätt. Till exempel genom Taylor-serien :

e^{x}=1+\summa _{{n=1}}^{{\infty }}{x^{n} \över n!}=1+x+{x^{2} \över 2! }+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

eller över gränsen :

e^{x}=\lim _{{n\högerpil \infty }}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

Här är vilket komplext tal som helst . $x$

Begreppets ursprung

Ordet utställare kommer från lat. " exponere", som översätts som " framställa; visa ", som i sin tur kommer från lat. prefix " ex-" ("förut") och lat. orden " ponere" ("sätta, ordna"); [1] Meningen med att använda ett sådant ord för exponenten är att exponentens tecken är "placerat utanför" den vanliga skrivraden (något ovanför och till höger om den plats där figuren vanligtvis ska placeras). $a^{x}$

Egenskaper

$(e^{x})'=e^{x}$ , och i synnerhet exponentialen är den enda lösningen av en differentialekvation med initiala data . Dessutom uttrycks de allmänna lösningarna av homogena differentialekvationer i termer av exponentialen . $y'=y$ $y(0)=1$
Exponenten definieras på hela den reella axeln. På den ökar exponenten överallt och är strikt större än noll.
Exponenten är en konvex funktion .
Den inversa funktionen till det är den naturliga logaritmen . $(\ln x)$
Fouriertransformen av exponenten är en generaliserad funktion , nämligen Dirac deltafunktionen .
Laplacetransformen av exponentialen definieras i domänen . $e^{ax}$ $\operatörsnamn {Re} (x)<a$
Derivatan vid noll är , så tangenten till exponenten vid denna punkt passerar i en vinkel eller . $ett$ ${\displaystyle 45^{\circ ))$ ${\frac {\pi }{4))$
Exponentens huvudsakliga funktionella egenskap, såväl som alla exponentiella funktioner: $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ .
- En kontinuerlig funktion med denna egenskap är antingen identiskt lika med eller har formen , där är någon konstant. $0$ $\exp(cx)$ $c$

$e^{x}=\operatörsnamn {sh} x+\operatörsnamn {ch} x$ , där och är hyperbolisk sinus och cosinus . $\operatörsnamn {sh}$ $\operatörsnamn {ch}$

Komplex exponent

Den komplexa exponenten är en matematisk funktion som ges av relationen , där är ett komplext tal . Den komplexa exponenten definieras som den analytiska fortsättningen av exponenten för en reell variabel : $f(z)=e^{z}$ $z$ $f(x)=e^{x}$ $x$

Låt oss definiera ett formellt uttryck

e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}\cdot e^{{iy}}

Uttrycket som definieras på detta sätt på den reella axeln kommer att sammanfalla med den klassiska reella exponenten. För fullständig korrekthet av konstruktionen är det nödvändigt att bevisa funktionens analyticitet , det vill säga att visa att den expanderar till en serie som konvergerar till denna funktion. Låt oss visa det: $e^{z}$ $e^{z}$

f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{{iy}}=e^{{iy}}\summa _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {x^{n}}{n!}}

Konvergensen av denna serie är lätt bevisad:

\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}\right|\leq \left|\summa _ {n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac { x^{n}}{n!}}\right|=\summa _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{ | x|}

Serien konvergerar absolut överallt , det vill säga den konvergerar överallt i allmänhet, så summan av denna serie vid varje specifik punkt kommer att bestämma värdet på den analytiska funktionen . Enligt unikhetssatsen kommer den resulterande förlängningen att vara unik, därför är funktionen på det komplexa planet överallt definierad och analytisk. $f(z)=e^{z}$ $e^{z}$

Egenskaper

Den komplexa exponenten är en hel holomorf funktion på hela det komplexa planet . Det försvinner inte vid något tillfälle.
$e^{z}$ är en periodisk funktion med huvudperioden 2 π i : . På grund av periodicitet är den komplexa exponenten oändlig . Som dess univalensregion kan du välja vilken horisontell remsa som helst med höjden . $e^{{i\varphi }}=e^{{i(\varphi +2\pi )}}$ $2\pi$
$e^{z}$ - den enda funktionen upp till en konstant faktor, vars derivata (och följaktligen antiderivatan ) sammanfaller med den ursprungliga funktionen.
Algebraiskt kan exponenten för ett komplext argument definieras enligt följande: $z=x+iy$ $e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}e^{{iy}}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ ( Eulers formel ).
- I synnerhet innehar Euler-identiteten : $e^{i\pi }+1=0.$

Variationer och generaliseringar

På liknande sätt definieras exponenten för ett element i en godtycklig associativ algebra . I ett särskilt fall krävs också bevis för att dessa gränser finns.

Matrisexponent

Exponenten för en kvadratisk matris (eller en linjär operator ) kan formellt definieras genom att ersätta matrisen i lämplig serie:

\exp A=\summa _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {A^{k}}{k!}}.

Serien som definieras på detta sätt konvergerar för alla operatorer med en begränsad norm, eftersom den domineras av en serie för normens exponent . Därför är exponenten för en matris alltid definierad och är själv en matris. $A$ $A\colon$ $\exp\|A\|.$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$

Med hjälp av matrisexponenten är det lätt att specificera formen för lösningen av en linjär differentialekvation med konstanta koefficienter : ekvationen med initialvillkoret har sin lösning ${\dot x}=Yxa,~~~x\in {\mathbb R}^{n}$ $x(0)=x_{0}$ $x(t)=\exp(At)x_{0}.$

h -exponent

Introduktionen av -exponenten är baserad på den andra anmärkningsvärda gränsen : $h$

e_{{h}}(x)=(1+h)^{{\frac {x}{h}}}.

Vid , erhålls den vanliga exponenten [2] . $h\till 0$

Invers funktion

Den inversa funktionen till exponentialfunktionen är den naturliga logaritmen . Utsedda : $\ln x$

\ln x=\log _{{e}}x.

Se även

Anteckningar

↑ exponent (n. ) ? . (obestämd)
↑ AI Olemskoi, SS Borysov, a och IA Shuda. Statistiska fältteorier deformerade inom olika kalkyler

Litteratur

Lavrent'ev M. A., Shabat B. V. Metoder för teorin om funktioner för en komplex variabel. - 5:e upplagan, reviderad. — M.: Nauka, 1987. — 688 sid.
Khaplanov M. G. Teori om funktionen av en komplex variabel (kort kurs). - 2:a upplagan, reviderad. - M .: Utbildning, 1965. - 209 sid.

Länkar

En intuitiv guide till exponentiella funktioner och e | Bättre förklarad _