Komplex funktion

En komplex funktion är huvudobjektet för studier av teorin om funktioner för en komplex variabel , en komplext värderad funktion av ett komplext argument: . $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Förutom en komplext värderad funktion av en reell variabel kan den representeras som:

f(z)=u(z)+iv(z)

där och är verkligt värderade funktioner av ett komplext argument, som kallas de reella respektive imaginära delarna av funktionen . Till skillnad från verkliga funktioner finns det en djupare koppling mellan expansionskomponenterna, till exempel, för att en funktion ska vara differentierbar i betydelsen en funktion av en komplex variabel, måste Cauchy-Riemann-villkoren vara uppfyllda : $u(z)$ $v(z)$ $F Z)$ $F Z)$

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

;

{\frac {\partial u}{\partial y))=-{\frac {\partial v}{\partial x))

Exempel på analytiska funktioner för en komplex variabel är: potensfunktion , exponentiell , gammafunktion , Riemann zetafunktion , ryggradsfunktion och många andra, såväl som deras inversa funktioner och vilken kombination som helst av dem. Den reella delen av det komplexa talet , den imaginära delen , den komplexa konjugationen , modulen och argumentet är dock inte analytiska funktioner för en komplex variabel, eftersom de inte uppfyller Cauchy-Riemann-villkoren. ${\mathrm {Re}}\,z$ ${\mathrm {Im}}\,z$ ${\barz}$ $r=|z|$ $\varphi (z)$

Litteratur

Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969 . — 577 sid.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Per. från engelska. - 2:a uppl., reviderad. — M .: Nauka , 1980 . — 464 sid.
Privalov II Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel: En manual för högre utbildning. - M. - L .: Statens förlag, 1927 . — 316 sid.
Evgrafov M. A. Analytiska funktioner. - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare — M .: Nauka , 1968 . — 472 sid.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner för en komplex variabel. - M. : Nauka, 1974. - 320 sid.