Bilateral Laplace-transform

Den tvåsidiga Laplace-transformen är en integrerad transformation nära relaterad till Fourier-transformen , Mellin-transformen och den vanliga och ensidiga Laplace-transformen .

Definition

Om är en reell eller komplex funktion av en reell variabel , då den tvåsidiga Laplace-transformen ges av formeln $med)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}$

{\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t )\,dt.

Integralen i denna definition antas vara olämplig och konvergent när det finns $\left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^ {0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matris}}\höger.$

Ibland skrivs tvåsidiga transformationer i formen

{\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _ {-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.

I allmänhet kan en variabel vara antingen ett reellt eller ett komplext värde. $t$

Förhållande med andra integrerade transformationer

Om är Heaviside-funktionen kan den vanliga Laplace-transformen uttryckas i termer av den tvåsidiga formeln $u(t)$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.

Och vice versa: från en tvåsidig transformation kan du få den vanliga genom formeln

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{ {\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).

Mellin-transformen kan uttryckas i termer av den tvåsidiga Laplace-transformen med formeln

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)

Och vice versa: från den tvåsidiga transformationen kan du få Mellin-transformen med formeln

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).

Fouriertransformen kan definieras i termer av den tvåsidiga Laplacetransformen med formeln

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).

Egenskaper

Egenskaper hos Laplace Transforms

	Tidsdomän	Ensidigt område	Bilateralt område
Första derivatan	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Andra derivatan	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(s)\$

Litteratur

LePage, Wilbur R. , Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers , Dover Publications, 1980
van der Pol, Balthasar och Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral , Chelsea Pub. Co., 3:e upplagan, 1987

Bilateral Laplace-transform

Definition

Förhållande med andra integrerade transformationer

Egenskaper

Litteratur

Anteckningar