Z-transform

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 mars 2020; kontroller kräver 6 redigeringar .

Z-transform ( Laurent transform ) är faltningen av den ursprungliga signalen, given av en sekvens av reella tal i tidsdomänen, till en analytisk funktion av den komplexa frekvensen. Om signalen representerar impulssvaret för ett linjärt system , visar Z-transformkoefficienterna systemets svar på komplexa exponentialer , det vill säga på harmoniska svängningar med olika frekvenser och stig-/avklingningshastigheter. $E(n)=z^{{-n}}=r^{{-n}}e^{{-i\omega n}}$

Definition

Z-transformen, liksom många integraltransformer, kan specificeras som ensidig och tvåsidig .

Tvåvägs Z-transform

Den tvåsidiga Z-transformeringen av en diskret tidssignal ges av: $X(z)$ $x[n]$

X(z)=Z\{x[n]\}=\summa _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

där är ett heltal och är ett komplext tal. $n$ $z$

z=Ae^{{j\varphi }},

var är amplituden och är vinkelfrekvensen (i radianer per prov) $A$ $\varphi$

Envägs Z-transform

I fall där den endast är definierad för , ges den ensidiga Z-transformen av: $x[n]$ $n\geqslant 0$

X(z)=Z\{x[n]\}=\summa _{{n=0}}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

Inverterad Z-transform

Den inversa Z-transformen definieras till exempel enligt följande:

x[n]=Z^{{-1}}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{{C}}X(z)z ^{{n-1}}\,dz,

var är konturen som omger konvergensområdet . Konturen måste innehålla alla rester . $C$ $X(z)$ $X(z)$

Om vi lägger in den föregående formeln får vi en ekvivalent definition: $z=re^{{j\varphi }}$ $x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{\pi}X(re^{{j\varphi }}) e^{{jn\varphi }}\,d\varphi .$

Konvergensregion

Konvergensområdet är en viss uppsättning punkter på det komplexa planet där det finns en ändlig gräns för serien: $D$

D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const <\infty\right\}.

Exempel 1 (ingen region av konvergens)

Låt . Expandera på intervallet , får vi $x[n]=0{,}5^{n}$ $x[n]$ $(-\infty ,\;\infty )$

x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1 };\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ; \;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,} 5^{3};\;\ldots\}.

Låt oss titta på beloppet:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .

Därför finns det inga sådana värden som skulle uppfylla konvergensvillkoret. $z$

Relation med Laplace-transformen

Den bilinjära transformationen kan användas för att transformera kontinuerlig tid, till exempel när man analytiskt beskriver linjära filter som representeras av Laplace-transformationen till diskreta tidsprover med en period representerad i z-domänen och vice versa. Denna transformation använder en variabelsubstitution: $T,$

s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1))).

Den omvända övergången från z-transformen till Laplace-transformen utförs av en liknande förändring av variabel:

z={\frac {2+sT}{2-sT)).

Den bilinjära transformen mappar det komplexa s-planet för Laplace-transformen till det komplexa z-planet för z-transformen. Denna mappning är icke-linjär och kännetecknas av att den mappar s-planets axel till enhetscirkeln i z-planet. $s=\sigma +j\omega$ $j\omega$

Sålunda går Fouriertransformen , som är Laplacetransformen av en variabel , in i en diskret-tids Fouriertransform. Det antas att Fouriertransformen existerar, det vill säga att axeln är i konvergensområdet för Laplacetransformen. $j\omega$ $j\omega$

Tabell över några Z-transformers

Beteckningar:

$\theta [n]=\left\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{array}}\right.$ är Heaviside-funktionen .
$\delta[n]=1$ för , och för alla andra är n en deltasekvens (inte att förväxla med Kronecker deltasymbol och Dirac deltafunktion). $n=0$ $\delta[n]=0$

	Signal, $x[n]$	Z-transform, $X(z)$	Konvergensområde
ett	$\delta[n]$	$ett$	$\forall z$
2	$\delta[n-n_{0}]$	${\frac {1}{z^{{n_{0))))}$	$z\neq 0$
3	$\theta[n]$	${\frac {z}{z-1}}$	$\|z\|>1$
fyra	$a^{n}\theta[n]$	${\frac {1}{1-az^{{-1))))$	$\|z\|>\|a\|$
5	$na^{n}\theta[n]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|>\|a\|$
6	$-a^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{{-1))))$	$\|z\|<\|a\|$
7	$-na^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|<\|a\|$
åtta	$\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-z^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{ {-2}}}}$	$\|z\|>1$
9	$\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {z^{{-1}}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{- 2}}}}$	$\|z\|>1$
tio	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-az^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{{-1}}\cos(\omega _{0})+a^{ 2}z^{{-2}}}}$	$\|z\|>\|a\|$
elva	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z ^{-2}}}$	$\|z\|>\|a\|$

Se även

Länkar

Weisstein, Eric W. Z-Transform (engelska) på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
Döch G. Guide till praktisk tillämpning av Laplace-transformen och Z-transformen. Med tillämpning av tabeller sammanställda av R. Herschel: Per. från tyska. Serie: Fysikaliskt-matematiskt bibliotek av en ingenjör. 1971. 288 sid.

Digital signalbehandling
Teori	Signal diskret signal Kotelnikovs teorem Teori för statistiska uppskattningar Signaldetektionsteori
Underavsnitt	Digital Audio Signal Processing Teori om automatisk styrning Digital bildbehandling Talbehandling Statistisk signalbehandling
Tekniker	Diskret Fourier Transform (DFT) Time Discrete Fourier Transform (DTFT) Impulssvarsinvarians Bilinjär transformation Konsekvent Z-transform Modifierad Z-transform
Provtagning	Supersampling delsampling Minskar upplösningen Öka upplösningen Aliasing filter Samplingsfrekvens Nyquist frekvens