Modifierad Z-transform

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 mars 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Den modifierade (skiftade) Z-transformen är ett mer allmänt fall av den vanliga Z-transformen , som innehåller en idealisk fördröjning som är en multipel av samplingsfrekvensen . Matematiskt skrivet som:

{\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k))

var

T - provtagningsperiod
m ("offset parameter") - del av samplingsperioden $[0,T).$

Den modifierade Z-transformen används i stor utsträckning inom styrteori, i synnerhet för mer exakt modellering av system med fördröjningar.

Egenskaper

Om offsetparametern m är fixerad är alla egenskaper hos den modifierade z-transformen desamma som för den normala Z-transformen.

Linjäritet

Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\summa _{k=1}^{n}c_{k} F(z,m).

Tidsförskjutning

Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).

Försvagning

Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).

Multiplikation av ett argument

Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m) .

Finita värdesats

\lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{k=1+}F(z,m).

Tabell över grundläggande transformationer

med)	F(z, m)
1 (t)	${\frac {z}{z-1}}$
t	${\frac {zmT}{z-1}}+{\frac {zT}{(z-1)^{2}}}$
e -at	${\displaystyle {\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT))))$
1-e- kl	${\frac {z}{z-1}}-{\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT}}}$
sin ωt	${\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos { \omega T}+1}}$

Exempel

Låt originalet konvertera . Sedan: $f(t)=\cos(\omega t)$

F(z,m)=Z\left[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]

F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]

F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT) \höger]

F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}

F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (Tm))}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}.

Om , då sammanfaller med Z-transformen: $m=0$ $F(z,m)$

F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1))

Digital signalbehandling
Teori	Signal diskret signal Kotelnikovs teorem Teori för statistiska uppskattningar Signaldetektionsteori
Underavsnitt	Digital Audio Signal Processing Teori om automatisk styrning Digital bildbehandling Talbehandling Statistisk signalbehandling
Tekniker	Diskret Fourier Transform (DFT) Time Discrete Fourier Transform (DTFT) Impulssvarsinvarians Bilinjär transformation Konsekvent Z-transform Modifierad Z-transform
Provtagning	Supersampling delsampling Minskar upplösningen Öka upplösningen Aliasing filter Samplingsfrekvens Nyquist frekvens